Polstelle oder Lücke
Welche der drei Funktionen hat bei x = 3 eine Lücke und keine Polstelle?
Erklärung: x² − 9 = (x − 3)(x + 3): Der Faktor x − 3 kürzt sich, es bleibt x + 3 mit einer Lücke bei x = 3. Bei g bleibt x − 3 im Nenner (Polstelle), bei h ist x = 3 eine Nullstelle und x = −3 die Polstelle.
Welcher Term gehört zum Graphen?
Erklärung: Der Graph ist die Gerade y = x + 2 mit einer Lücke bei x = 2: (x² − 4)/(x − 2) = (x + 2)(x − 2)/(x − 2) = x + 2 für x ≠ 2. 4/(x − 2) hat eine Polstelle, (x − 2)/(x² − 4) = 1/(x + 2) ist eine Hyperbel.
Der Graph gehört zu f(x) = (x + 2)/(x² − 4). f hat bei x = −2 eine Polstelle.
Erklärung: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), und der Faktor x + 2 kürzt sich: f(x) = 1/(x − 2). Bei x = −2 ist nur eine Lücke, die Polstelle liegt bei x = 2.
Für x ≠ 1 gilt (x² − 1)/(x − 1) = x + 1. Der Graph hat bei x = 1 eine Lücke auf der Höhe y = ___
Erklärung: Nach dem Kürzen bleibt x + 1. An der Lücke x = 1 gehört dazu die Höhe 1 + 1 = 2: Der Punkt (1 | 2) fehlt.
Wie viele Polstellen hat f(x) = (x² − 4)/((x − 2)(x + 5))?
Erklärung: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Der Faktor x − 2 kürzt sich (Lücke bei x = 2), es bleibt (x + 2)/(x + 5). Nur x = −5 ist eine Polstelle.
Der Nenner von f(x) = 3/(x + 4) wird bei x = −4 null. Wie lautet die Gleichung der senkrechten Asymptote?
Erklärung: Die senkrechte Asymptote geht durch die Polstelle: x = −4. x = 4 hat das Vorzeichen vertauscht, y = −4 wäre eine waagrechte Gerade.
Welche Gleichung hat die senkrechte Asymptote des Graphen?
Erklärung: Der Graph ist bei x = 3 unterbrochen und schmiegt sich an die senkrechte Gerade x = 3 an. y = 1 ist die Höhe, der sich beide Äste für große |x| nähern (waagrecht), x = 1 ist die Nullstelle.
f(x) = 1/(x − 7) hat die senkrechte Asymptote x = ___
Erklärung: Der Nenner x − 7 ist null für x = 7. Dort ist die Polstelle, also ist x = 7 die senkrechte Asymptote.
f(x) = (x + 1)/((x − 2)(x + 3)) hat zwei senkrechte Asymptoten. Wie weit liegen sie auseinander?
Erklärung: Die Polstellen sind x = 2 und x = −3 (der Zähler x + 1 kürzt sich nicht). Der Abstand ist 2 − (−3) = 5.
Für f(x) = 1/(x + 3) gilt lim x→−3⁺ f(x) = …
Erklärung: Rechts von −3 ist x + 3 klein und positiv, also ist 1/(x + 3) groß und positiv: +∞. −∞ käme von links (x + 3 negativ). 0 wäre der Grenzwert für x → ∞.
Der Graph gehört zu f(x) = −2/(x + 1). Was gilt für lim x→−1⁻ f(x)?
Erklärung: Links von −1 ist x + 1 klein und negativ; −2 durch eine kleine negative Zahl ist groß und positiv: +∞. Das zeigt der linke Ast des Graphen. Der Zähler −2 ist der Grund, warum es nicht −∞ ist.
Berechne f(4,01) für f(x) = 1/(x − 4).
Erklärung: x − 4 = 0,01, also f(4,01) = 1/0,01 = 100. Der Punkt liegt weit über dem sichtbaren Teil des rechten Astes. Näher an der Polstelle wird der Wert noch größer: Das ist der Weg gegen +∞.
Berechne f(−1,01) für f(x) = 3/(x + 1).
Erklärung: x + 1 = −0,01, also f(−1,01) = 3/(−0,01) = −300. Links von −1 ist der Wert stark negativ: lim x→−1⁻ f(x) = −∞.
Welche Funktion geht bei x = 1 auf beiden Seiten gegen +∞?
Erklärung: (x − 1)² ist auf beiden Seiten positiv, der Zähler 1 auch: beidseitig +∞. Bei 1/(x − 1) wechselt das Vorzeichen (links −∞), bei −1/(x − 1)² geht es beidseitig nach −∞.
Welcher Term gehört zum Graphen mit der Polstelle bei x = −2?
Erklärung: Beide Äste laufen nach unten: kein Vorzeichenwechsel, also ein Quadrat im Nenner, und der Zähler −2 macht sie negativ. 2/(x + 2)² ginge nach oben, −2/(x + 2) hätte einen Ast oben und einen unten.
Berechne f(2,9) für f(x) = 2/(x − 3)².
Erklärung: x − 3 = −0,1, das Quadrat ist 0,01, also f(2,9) = 2/0,01 = 200. Links von der Polstelle ist der Wert positiv, denn das Quadrat löscht das Minus aus: Der linke Ast liegt oberhalb der x-Achse.
f(x) = 1/((x − 1)²(x + 2)) hat zwei Polstellen. Bei wie vielen davon wechselt das Vorzeichen?
Erklärung: Bei x = 1 steht der Faktor im Quadrat: kein Wechsel, beidseitig +∞. Bei x = −2 steht x + 2 einfach: Dort wechselt das Vorzeichen (links −∞, rechts +∞). Also bei einer.
Untersuche f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2) an den Stellen x = 2 und x = −1. Zerlege Zähler und Nenner in Linearfaktoren und kürze. Entscheide, wo eine Lücke und wo eine Polstelle liegt, gib bei der Lücke die Höhe an und bei der Polstelle das Grenzverhalten von links und von rechts in Grenzwertschreibweise.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Kürzen von (x − 2) gibt (x + 2)/(x + 1): bei x = 2 eine Lücke auf der Höhe 4/3, bei x = −1 eine Polstelle mit den Grenzwerten +∞ (rechts) und −∞ (links).