Polstelle oder Lücke

Kürzen entscheidet

Fällt eine Zahl $x_0$ aus der Definitionsmenge, gibt es zwei Möglichkeiten. Steht der Faktor $(x-x_0)$ auch im Zähler, wird er gekürzt: Der Graph hat bei $x_0$ nur eine Lücke, einen herausgenommenen Punkt. Bleibt der Faktor auch nach dem vollständigen Kürzen im Nenner, ist $x_0$ eine Polstelle. Bei $f(x)=\frac{x-q}{x-1}$ kürzt sich für q = 1 alles weg: $f(x)=1$ für $x\ne 1$, eine Gerade mit Lücke bei (1 | 1). Für jedes andere q bleibt x = 1 eine Polstelle. Der Graph verrät den Unterschied: Eine Lücke ist ein einzelner fehlender Punkt, an einer Polstelle reißt der Graph ins Unendliche auf. Vor dem Urteil Polstelle oder Lücke wird deshalb immer zuerst zerlegt und gekürzt.

Von links und von rechts

An einer Polstelle wächst |f(x)| über alle Grenzen. Der Graph schmiegt sich an die senkrechte Asymptote $x=x_0$ an, ohne sie zu erreichen, denn f(x₀) ist nicht erklärt. Ob er nach oben oder unten läuft, entscheidet das Vorzeichen. Bei $f(x)=\frac{1}{x-2}$ ist der Nenner rechts von 2 klein und positiv, links klein und negativ: ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$ und ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$. Das Zeichen ⁺ meint „von rechts“, ⁻ „von links“. Es gibt also zwei getrennte Grenzwerte, einen von jeder Seite, und sie dürfen verschieden sein. Je näher x an 2 liegt, desto größer wird der Betrag: Bei 2,1 ist f gleich 10, bei 2,001 schon 1000.

Gerader und ungerader Faktor

Nicht jede Polstelle wechselt das Vorzeichen. Steht $(x-x_0)$ im Nenner in ungerader Potenz, wechselt der Term das Vorzeichen: Ein Ast läuft nach $+\infty$, der andere nach $-\infty$. Bei $(x-x_0{)}^2$ ist der Nenner auf beiden Seiten positiv, und beide Äste laufen zur selben Seite. Ob ein Faktor einfach oder doppelt vorkommt, siehst du am zerlegten Nenner, ohne einen Testwert einzusetzen. Im Bild zeigt f den Wechsel, g keinen. Das Vorzeichen bestimmt also die Form des Graphen: Ein Wechsel heißt, die Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen, kein Wechsel heißt, sie laufen in dieselbe.