Schnittpunkte über Bruchgleichungen
Welche Gleichung liefert die x-Koordinaten der Schnittpunkte von f(x) = 8/x und g(x) = x − 2?
Erklärung: Im Schnittpunkt haben beide Graphen dieselbe Höhe: f(x) = g(x). 8/x = 0 sucht die Nullstellen von f (es gibt keine), die Summe gleich null setzt f(x) = −g(x).
Wie viele Schnittpunkte haben die Graphen von f(x) = 4/x und g(x) = x − 3 (gestrichelt)?
Erklärung: Die Gerade schneidet den rechten Ast bei (4 | 1) und den linken bei (−1 | −4). Rechnerisch: 4/x = x − 3 gibt x² − 3x − 4 = 0, also x = 4 oder x = −1.
Die Graphen von f(x) = 3/x und g(x) = 1 schneiden sich bei x = ___
Erklärung: 3/x = 1 heißt 3 = x (mit x multipliziert), also x = 3. Der Schnittpunkt ist (3 | 1).
Die Graphen von f(x) = 18/x und g(x) = 2x schneiden sich im ersten Quadranten bei x = ___
Erklärung: 18/x = 2x gibt 18 = 2x², also x² = 9 und x = 3 oder x = −3. Im ersten Quadranten (x > 0) ist es x = 3; der zweite Schnittpunkt (−3 | −6) liegt im dritten.
Welche Gleichung entsteht aus 12/x = x + 4 durch Multiplikation mit x?
Erklärung: Beide Seiten werden mit x multipliziert, und die rechte Seite ist eine Summe: x · (x + 4) = x² + 4x. Wer nur x · x rechnet, vergisst den Summanden 4 (zweite Gleichung).
Die Gleichung (x + 3)/(x − 1) = 2/x wird mit dem Hauptnenner x(x − 1) multipliziert. Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: Links kürzt sich (x − 1): (x + 3) · x. Rechts kürzt sich x: 2 · (x − 1). In der zweiten Gleichung wurde nur gekürzt, ohne mit dem Hauptnenner zu multiplizieren; in der dritten wurde rechts der Faktor x nicht gekürzt.
Aus 12/x = x + 4 wird x² + 4x − 12 = 0. Die Lösungen sind x = 2 und x = ___
Erklärung: (x − 2)(x + 6) = x² + 4x − 12, also ist die zweite Lösung x = −6. Beide liegen in D (x ≠ 0). Probe: 12/(−6) = −2 = −6 + 4.
Löse 3/(x − 2) = 6/x (x ≠ 0, x ≠ 2): x = ___
Erklärung: Mit x(x − 2) multiplizieren: 3x = 6(x − 2) = 6x − 12, also 12 = 3x und x = 4. Probe: 3/2 = 6/4 = 1,5.
Die Gleichung 4/(x − 3) = (x + 1)/(x − 3) führt nach dem Multiplizieren mit (x − 3) auf x = 3. Wie viele Lösungen hat sie?
Erklärung: Multipliziert: 4 = x + 1, also x = 3. Aber bei x = 3 ist der Nenner null, 3 gehört nicht zu D: Scheinlösung, sie entfällt. Es bleibt keine Lösung.
Wie viele Schnittpunkte haben die beiden Graphen?
Erklärung: f(x) = g(x) ergibt (x + 1) = 2, also x = 1. Bei x = 1 ist der Nenner null, das ist eine Scheinlösung. Tatsächlich ist f(x) − g(x) = (x + 1 − 2)/(x − 1) = 1: Die Graphen laufen im Abstand 1 nebeneinander.
Kommt beim Lösen einer Bruchgleichung mit dem Nenner x − 2 die Zahl x = 2 heraus, so ist x = 2 keine Lösung der Gleichung.
Erklärung: x = 2 macht den Nenner null und gehört nicht zur Definitionsmenge. Die Zahl entstand erst durch das Multiplizieren und wird verworfen (Scheinlösung).
Wie viele Lösungen hat die Gleichung (x² − 4)/(x − 2) = 0?
Erklärung: Der Zähler ist null für x = 2 und x = −2. Aber x = 2 macht den Nenner null und fällt weg. Es bleibt x = −2, also eine Lösung.
(x − 1)(x + 3)/(x − 1) = 2 (x ≠ 1). Die Lösung ist x = ___
Erklärung: Für x ≠ 1 kürzt sich x − 1: x + 3 = 2, also x = −1. Es gibt nur diese eine Lösung, x = 1 gehört nicht zu D.
Die Graphen von f(x) = 12/x und g(x) = x + 4 schneiden sich bei x = 2. Welcher Schnittpunkt ergibt sich?
Erklärung: Einsetzen: f(2) = 12/2 = 6 und g(2) = 2 + 4 = 6. Der Punkt ist (2 | 6), erst x, dann y. (6 | 2) hat die Koordinaten vertauscht, bei (2 | 2) wurde die x-Koordinate als y übernommen.
Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt der beiden Graphen im ersten Quadranten?
Erklärung: Die Graphen gehören zu f(x) = 8/x und g(x) = 2x. 8/x = 2x gibt x = 2, und f(2) = 4, g(2) = 4: der Punkt (2 | 4). (4 | 2) hat die Koordinaten vertauscht.
Die Graphen schneiden sich bei x = 3. Wie groß ist die y-Koordinate, wenn f(x) = 12/x ist?
Erklärung: Einsetzen in f: y = 12/3 = 4. Der Schnittpunkt ist (3 | 4).
Die Graphen von f(x) = 8/x und g(x) = x − 2 schneiden sich bei x = −2 im Punkt P. Die y-Koordinate von P ist ___
Erklärung: f(−2) = 8/(−2) = −4, und g(−2) = −2 − 2 = −4: Beide Terme geben denselben Wert, P(−2 | −4).
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f(x) = 2x/(x − 1) und g(x) = x + 2. Gib zuerst die Definitionsmenge an, setze gleich, multipliziere mit dem Nenner, löse die entstehende Gleichung, prüfe die Lösungen an D und gib die Schnittpunkte mit beiden Koordinaten an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Multiplizieren mit x − 1 ergibt x² − x − 2 = 0, also x = 2 und x = −1 (beide in D). Die Schnittpunkte sind (2 | 4) und (−1 | 1).