Schnittpunkte über Bruchgleichungen

Intersections via fraction equations

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben

AnalysisGebrochen-rationale FunktionenGleichungen

Die Schnittstellen zweier Graphen sind die Lösungen von f(x) = g(x). Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist das eine Bruchgleichung: Man multipliziert mit dem Hauptnenner, jeden Summanden, und löst die entstehende lineare oder quadratische Gleichung. Lösungen, die nicht zur Definitionsmenge gehören, sind Scheinlösungen und entfallen; die y-Koordinate liefert das Einsetzen. Der Abschnitt räumt aus, nur einen Summanden zu multiplizieren und Pole als Lösung stehen zu lassen, und bereitet Schnittprobleme in der Analysis vor.

Gleichsetzen und multiplizieren

Zwei Graphen schneiden sich dort, wo $f (x) = g (x)$ gilt. Für $f (x) = \frac{6}{x}$ und $g (x) = x + 1$ ist das die Bruchgleichung $\frac{6}{x} = x + 1$ . Man multipliziert beide Seiten mit dem Nenner x (x ≠ 0), jeden Summanden: $6 = x^{2} + x$ , also $x^{2} + x - 6 = 0$ und $(x + 3) (x - 2) = 0$ . Die Lösungen sind −3 und 2. Die y-Koordinate liefert das Einsetzen, $f (2) = 3$ und $f (- 3) = - 2$ : die Schnittpunkte $(2 ∣ 3)$ und $(- 3 ∣ - 2)$ . Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner; haben die Nenner keinen gemeinsamen Faktor, ist es ihr Produkt, etwa $x (x - 1)$ für die Nenner x und x − 1. Danach bleibt Algebra der Jahrgangsstufe 9: eine lineare oder quadratische Gleichung.

Verschiebe die Gerade mit t. Wie viele Schnittpunkte gibt es, und was gilt für x₁ und x₂ bei t = 1?

Scheinlösungen

Multipliziert man mit einem Nenner, kann eine Zahl entstehen, die gar nicht in D liegt. Bei $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}$ ergibt Multiplizieren mit $x - 2$ die Lösung $x = 2$ , doch dort ist der Nenner null. Das ist eine Scheinlösung: Die Graphen haben keinen Schnittpunkt, denn $f (x) - g (x) = 1$ für alle $x \neq = 2$ . Darum bestimmt man zuerst D und prüft jede Lösung daran. Der Fehler liegt dann nicht in der Rechnung, sondern im Weglassen der Probe. Die Probe kostet eine Zeile: Man setzt die gefundene Zahl in den Nenner ein und prüft, dass er nicht null wird.

Lies ab: Wie groß ist der senkrechte Abstand der beiden Graphen für x ≠ 2?

Voraussetzungen (1)

Definitionsmenge und Nullstellen

Klasse 11

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Gleichung liefert die x-Koordinaten der Schnittpunkte von f(x) = 8/x und g(x) = x − 2?

● 8/x = x − 2
○ 8/x = 0
○ 8/x + x − 2 = 0

Im Schnittpunkt haben beide Graphen dieselbe Höhe: f(x) = g(x). 8/x = 0 sucht die Nullstellen von f (es gibt keine), die Summe gleich null setzt f(x) = −g(x).

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Wie viele Schnittpunkte haben die Graphen von f(x) = 4/x und g(x) = x − 3 (gestrichelt)?

● zwei
○ einen
○ keinen

Die Gerade schneidet den rechten Ast bei (4 | 1) und den linken bei (−1 | −4). Rechnerisch: 4/x = x − 3 gibt x² − 3x − 4 = 0, also x = 4 oder x = −1.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Gleichung entsteht aus 12/x = x + 4 durch Multiplikation mit x?

● 12 = x² + 4x
○ 12 = x² + 4
○ 12 = x + 4x

Beide Seiten werden mit x multipliziert, und die rechte Seite ist eine Summe: x · (x + 4) = x² + 4x. Wer nur x · x rechnet, vergisst den Summanden 4 (zweite Gleichung).

Multiple Choice #4 35s ▶ Testen

Die Gleichung (x + 3)/(x − 1) = 2/x wird mit dem Hauptnenner x(x − 1) multipliziert. Welche Gleichung entsteht?

● x(x + 3) = 2(x − 1)
○ x + 3 = 2
○ x(x + 3) = 2x(x − 1)

Links kürzt sich (x − 1): (x + 3) · x. Rechts kürzt sich x: 2 · (x − 1). In der zweiten Gleichung wurde nur gekürzt, ohne mit dem Hauptnenner zu multiplizieren; in der dritten wurde rechts der Faktor x nicht gekürzt.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Die Gleichung 4/(x − 3) = (x + 1)/(x − 3) führt nach dem Multiplizieren mit (x − 3) auf x = 3. Wie viele Lösungen hat sie?

● keine
○ eine
○ zwei

Multipliziert: 4 = x + 1, also x = 3. Aber bei x = 3 ist der Nenner null, 3 gehört nicht zu D: Scheinlösung, sie entfällt. Es bleibt keine Lösung.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Wie viele Schnittpunkte haben die beiden Graphen?

● keinen
○ einen
○ zwei

f(x) = g(x) ergibt (x + 1) = 2, also x = 1. Bei x = 1 ist der Nenner null, das ist eine Scheinlösung. Tatsächlich ist f(x) − g(x) = (x + 1 − 2)/(x − 1) = 1: Die Graphen laufen im Abstand 1 nebeneinander.

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Kommt beim Lösen einer Bruchgleichung mit dem Nenner x − 2 die Zahl x = 2 heraus, so ist x = 2 keine Lösung der Gleichung.

✓ Wahr

x = 2 macht den Nenner null und gehört nicht zur Definitionsmenge. Die Zahl entstand erst durch das Multiplizieren und wird verworfen (Scheinlösung).

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die Graphen von f(x) = 12/x und g(x) = x + 4 schneiden sich bei x = 2. Welcher Schnittpunkt ergibt sich?

● (2 | 6)
○ (2 | 2)
○ (6 | 2)

Einsetzen: f(2) = 12/2 = 6 und g(2) = 2 + 4 = 6. Der Punkt ist (2 | 6), erst x, dann y. (6 | 2) hat die Koordinaten vertauscht, bei (2 | 2) wurde die x-Koordinate als y übernommen.

Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt der beiden Graphen im ersten Quadranten?

● (2 | 4)
○ (4 | 2)
○ (2 | 2)

Die Graphen gehören zu f(x) = 8/x und g(x) = 2x. 8/x = 2x gibt x = 2, und f(2) = 4, g(2) = 4: der Punkt (2 | 4). (4 | 2) hat die Koordinaten vertauscht.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Die Graphen von f(x) = 3/x und g(x) = 1 schneiden sich bei x = ___

✓ Antwort: 3

3/x = 1 heißt 3 = x (mit x multipliziert), also x = 3. Der Schnittpunkt ist (3 | 1).

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Aus 12/x = x + 4 wird x² + 4x − 12 = 0. Die Lösungen sind x = 2 und x = ___

✓ Antwort: -6

(x − 2)(x + 6) = x² + 4x − 12, also ist die zweite Lösung x = −6. Beide liegen in D (x ≠ 0). Probe: 12/(−6) = −2 = −6 + 4.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung (x² − 4)/(x − 2) = 0?

✓ Antwort: 1

Der Zähler ist null für x = 2 und x = −2. Aber x = 2 macht den Nenner null und fällt weg. Es bleibt x = −2, also eine Lösung.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Die Graphen schneiden sich bei x = 3. Wie groß ist die y-Koordinate, wenn f(x) = 12/x ist?

✓ Antwort: 4

Einsetzen in f: y = 12/3 = 4. Der Schnittpunkt ist (3 | 4).

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Graphen von f(x) = 18/x und g(x) = 2x schneiden sich im ersten Quadranten bei x = ___

✓ Antwort: 3

18/x = 2x gibt 18 = 2x², also x² = 9 und x = 3 oder x = −3. Im ersten Quadranten (x > 0) ist es x = 3; der zweite Schnittpunkt (−3 | −6) liegt im dritten.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Löse 3/(x − 2) = 6/x (x ≠ 0, x ≠ 2): x = ___

✓ Antwort: 4

Mit x(x − 2) multiplizieren: 3x = 6(x − 2) = 6x − 12, also 12 = 3x und x = 4. Probe: 3/2 = 6/4 = 1,5.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

(x − 1)(x + 3)/(x − 1) = 2 (x ≠ 1). Die Lösung ist x = ___

✓ Antwort: -1

Für x ≠ 1 kürzt sich x − 1: x + 3 = 2, also x = −1. Es gibt nur diese eine Lösung, x = 1 gehört nicht zu D.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Die Graphen von f(x) = 8/x und g(x) = x − 2 schneiden sich bei x = −2 im Punkt P. Die y-Koordinate von P ist ___

✓ Antwort: -4

f(−2) = 8/(−2) = −4, und g(−2) = −2 − 2 = −4: Beide Terme geben denselben Wert, P(−2 | −4).

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f(x) = 2x/(x − 1) und g(x) = x + 2. Gib zuerst die Definitionsmenge an, setze gleich, multipliziere mit dem Nenner, löse die entstehende Gleichung, prüfe die Lösungen an D und gib die Schnittpunkte mit beiden Koordinaten an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℝ \ {1}. Gleichsetzen: 2x/(x − 1) = x + 2. Mit (x − 1) multiplizieren: 2x = (x + 2)(x − 1) = x² + x − 2, also x² − x − 2 = 0 und (x − 2)(x + 1) = 0: x = 2 oder x = −1. Beide liegen in D. y-Koordinaten: f(2) = 4 = g(2), f(−1) = −2/(−2) = 1 = g(−1). Schnittpunkte: (2 | 4) und (−1 | 1).

Multiplizieren mit x − 1 ergibt x² − x − 2 = 0, also x = 2 und x = −1 (beide in D). Die Schnittpunkte sind (2 | 4) und (−1 | 1).