Die schräge Asymptote
Welche Funktion hat eine schräge Asymptote?
Erklärung: Nur wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad: 2 gegenüber 1. (x + 1)/(x² − 3) hat die waagrechte Asymptote y = 0, (x² + 1)/(x² − 3) die waagrechte Asymptote y = 1.
Der Graph gehört zu einer gebrochen-rationalen Funktion. Wie viele waagrechte Asymptoten hat er?
Erklärung: Die äußeren Äste steigen nach rechts immer weiter und fallen nach links immer weiter, sie kommen keiner waagrechten Geraden nahe. Sie schmiegen sich an eine schräge Gerade an (hier y = x + 2), das ist der Fall Zählergrad = Nennergrad + 1.
Der Nenner hat den Grad 3. Für eine schräge Asymptote muss der Zähler den Grad ___ haben.
Erklärung: Der Zählergrad muss genau um 1 größer sein als der Nennergrad: 3 + 1 = 4.
Wie viele der Funktionen (x² + 1)/x, (x + 2)/(x² + 1), (x³ − 1)/(x² + 4) und x²/(x² − 1) haben eine schräge Asymptote?
Erklärung: Zählergrad minus Nennergrad: 2 − 1 = 1 (ja), 1 − 2 = −1 (nein), 3 − 2 = 1 (ja), 2 − 2 = 0 (nein, waagrechte Asymptote). Zwei der vier haben eine schräge Asymptote.
Welche schräge Asymptote hat f(x) = 2x − 1 + 3/(x + 4)?
Erklärung: Der Restbruch 3/(x + 4) geht für x → ±∞ gegen 0. Es bleibt die Gerade 2x − 1. Die 3 aus dem Rest und die 4 aus dem Nenner gehören nicht zur Geraden.
Die gestrichelte Gerade ist die schräge Asymptote des Graphen. Welche Gleichung hat sie?
Erklärung: Die Gerade schneidet die y-Achse bei 1, und pro 2 Einheiten nach rechts steigt sie um 1: y = 0,5x + 1. y = 0,5x + 2 hätte den Achsenabschnitt 2, y = 2x + 1 wäre viel steiler.
Die schräge Asymptote von f(x) = 3x + 2 + 5/(x − 1) hat die Steigung ___
Erklärung: Die Asymptote ist y = 3x + 2, der Rest 5/(x − 1) geht gegen 0. Die Steigung ist 3: pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um 3.
f(x) = x − 4 + 6/(x² + 1) hat die schräge Asymptote y = x − 4. Welchen Wert hat sie bei x = 10?
Erklärung: Die Asymptote ist die Gerade y = x − 4: bei x = 10 ist y = 10 − 4 = 6. Der Rest 6/(x² + 1) gehört nicht dazu.
Welche Summenform hat f(x) = (x² + 5)/x?
Erklärung: Jeder Summand des Zählers wird einzeln durch x geteilt: x²/x = x und 5/x bleibt ein Bruch. x² + 5 hat das x im Nenner unterschlagen, x + 5 hat aus 5/x fälschlich 5 gemacht.
(x² − 4)/x = x − 4/x.
Erklärung: Jeder Summand des Zählers wird einzeln durch x geteilt: x²/x = x und −4/x bleibt ein Bruch. Die Umformung zu x − 4 wäre falsch, denn −4 muss ebenfalls durch x geteilt werden.
(6x² + 8)/(2x) = 3x + ___/x
Erklärung: 6x²/(2x) = 3x und 8/(2x) = 4/x.
Gib die Steigung der schrägen Asymptote von f(x) = (4x² + 7)/(2x) an.
Erklärung: Aufgespalten: (4x² + 7)/(2x) = 2x + 7/(2x). Der Rest 7/(2x) geht gegen 0, die Asymptote ist y = 2x mit der Steigung 2.
f(x) = x + 2/(x − 3) hat die schräge Asymptote y = x. Wo liegt der Graph an der Stelle x = 5?
Erklärung: Der Rest 2/(x − 3) ist bei x = 5 gleich 2/2 = 1, also positiv: f(5) = 6 liegt 1 über y = 5. „Auf der Asymptote“ wäre nur bei Rest 0 möglich, und der Rest wird nie null.
Der Graph hat die gestrichelte schräge Asymptote. Wo liegt er links von der Polstelle x = −1?
Erklärung: Der linke Ast liegt unterhalb der Geraden: Der Rest 3/(x + 1) ist für x < −1 negativ. Rechts der Polstelle ist er positiv, dort liegt der Graph über der Geraden.
Für f(x) = x − 2 + 4/(x + 1) ist der Abstand zwischen dem Punkt P des Graphen und dem Punkt Q der Asymptote y = x − 2 bei x = 3 gleich ___
Erklärung: Der Abstand ist der Rest 4/(x + 1) = 4/4 = 1. Der Graph liegt bei x = 3 um 1 über der Geraden: P(3 | 2), Q(3 | 1).
f(x) = x + 3/x hat die schräge Asymptote y = x. Wie groß ist f(x) − x an der Stelle x = 100?
Erklärung: f(x) − x = 3/x = 3/100 = 0,03. Für wachsendes x wird der Abstand beliebig klein.
Gegeben ist f(x) = (2x² − x + 3)/x. Spalte den Term auf, gib die schräge Asymptote an und untersuche mit dem Restbruch, ob der Graph an den Stellen x = 3 und x = −3 über oder unter der Asymptote liegt. Gib auch die Funktionswerte an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Aufspalten ergibt 2x − 1 + 3/x. Die Asymptote ist y = 2x − 1; der Rest 3/x ist bei x = 3 positiv (darüber), bei x = −3 negativ (darunter).