Die schräge Asymptote

The slant asymptote

Mathematik Klasse 11 17 Aufgaben
AnalysisGebrochen-rationale FunktionenAsymptotenGrenzwerte

Ist der Zählergrad genau um 1 größer als der Nennergrad, gibt es keine waagrechte, aber eine schräge Asymptote. Spaltet man den Bruch in mx + t + Restbruch auf, strebt der Rest gegen 0 und y = mx + t ist die Asymptote; sein Vorzeichen zeigt, ob der Graph darüber oder darunter liegt. Der Abschnitt räumt das falsche Kürzen aus Summen aus, (x² + 3)/x sei x + 3 (Kirshner und Awtry 2004), und bereitet die Kurvenskizze vor. Verlangt ist nur, was unmittelbar aus dem Term ersichtlich ist.

Die Summenform

Ist der Zählergrad genau um 1 größer als der Nennergrad, gibt es keine waagrechte, dafür eine schräge Asymptote. Man spaltet den Bruch auf, indem man jeden Summanden des Zählers einzeln durch den Nenner teilt: . Gekürzt wird nur ein ganzer Faktor, nie ein Summand: ist nicht . Steht f in der Form , strebt der Restbruch (Zählergrad kleiner als Nennergrad) gegen 0, und ist die Asymptote. Bei ist es . Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad oder kleiner, bleibt es bei der waagrechten Asymptote. Zuerst prüft man also den Gradunterschied, dann spaltet man auf: Erst diese Reihenfolge macht die Gerade sichtbar.

Ändere c. Was bleibt gleich, was ändert sich am Graphen? Die gestrichelte Gerade ist y = x + 1.

Über oder unter der Geraden

Der Restbruch ist der senkrechte Abstand zwischen Graph und Gerade: . Sein Vorzeichen sagt, wo der Graph liegt, positiv heißt darüber, negativ darunter. Bei ist der Rest rechts von der Polstelle positiv, links negativ, denn der Nenner wechselt bei x = 1 sein Vorzeichen. Für wird er beliebig klein, der Graph schmiegt sich an die Gerade. Zum Beispiel liegt der Graph bei x = 3 genau 1 über der Geraden, denn der Rest ist dort 2/2 = 1. Links der Polstelle, bei x = −1, ist der Rest 2/(−2) = −1: Dort liegt der Graph 1 unter der Geraden.

Schiebe x₀ über die Polstelle. Wo liegt P über Q, wo darunter?

Voraussetzungen (1)

Die waagrechte Asymptote
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Funktion hat eine schräge Asymptote?

  • ● f(x) = (x² + 1)/(x − 3)
  • ○ f(x) = (x + 1)/(x² − 3)
  • ○ f(x) = (x² + 1)/(x² − 3)
Nur wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad: 2 gegenüber 1. (x + 1)/(x² − 3) hat die waagrechte Asymptote y = 0, (x² + 1)/(x² − 3) die waagrechte Asymptote y = 1.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Der Graph gehört zu einer gebrochen-rationalen Funktion. Wie viele waagrechte Asymptoten hat er?

  • ● keine
  • ○ eine
  • ○ zwei
Die äußeren Äste steigen nach rechts immer weiter und fallen nach links immer weiter, sie kommen keiner waagrechten Geraden nahe. Sie schmiegen sich an eine schräge Gerade an (hier y = x + 2), das ist der Fall Zählergrad = Nennergrad + 1.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche schräge Asymptote hat f(x) = 2x − 1 + 3/(x + 4)?

  • ● y = 2x − 1
  • ○ y = 2x + 3
  • ○ y = 2x + 4
Der Restbruch 3/(x + 4) geht für x → ±∞ gegen 0. Es bleibt die Gerade 2x − 1. Die 3 aus dem Rest und die 4 aus dem Nenner gehören nicht zur Geraden.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Die gestrichelte Gerade ist die schräge Asymptote des Graphen. Welche Gleichung hat sie?

  • ● y = 0,5x + 1
  • ○ y = 0,5x + 2
  • ○ y = 2x + 1
Die Gerade schneidet die y-Achse bei 1, und pro 2 Einheiten nach rechts steigt sie um 1: y = 0,5x + 1. y = 0,5x + 2 hätte den Achsenabschnitt 2, y = 2x + 1 wäre viel steiler.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Summenform hat f(x) = (x² + 5)/x?

  • ● x + 5/x
  • ○ x² + 5
  • ○ x + 5
Jeder Summand des Zählers wird einzeln durch x geteilt: x²/x = x und 5/x bleibt ein Bruch. x² + 5 hat das x im Nenner unterschlagen, x + 5 hat aus 5/x fälschlich 5 gemacht.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

(x² − 4)/x = x − 4/x.

✓ Wahr
Jeder Summand des Zählers wird einzeln durch x geteilt: x²/x = x und −4/x bleibt ein Bruch. Die Umformung zu x − 4 wäre falsch, denn −4 muss ebenfalls durch x geteilt werden.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

f(x) = x + 2/(x − 3) hat die schräge Asymptote y = x. Wo liegt der Graph an der Stelle x = 5?

  • ● über der Asymptote
  • ○ unter der Asymptote
  • ○ auf der Asymptote
Der Rest 2/(x − 3) ist bei x = 5 gleich 2/2 = 1, also positiv: f(5) = 6 liegt 1 über y = 5. „Auf der Asymptote“ wäre nur bei Rest 0 möglich, und der Rest wird nie null.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Graph hat die gestrichelte schräge Asymptote. Wo liegt er links von der Polstelle x = −1?

  • ● unter der Asymptote
  • ○ über der Asymptote
  • ○ auf der Asymptote
Der linke Ast liegt unterhalb der Geraden: Der Rest 3/(x + 1) ist für x < −1 negativ. Rechts der Polstelle ist er positiv, dort liegt der Graph über der Geraden.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Der Nenner hat den Grad 3. Für eine schräge Asymptote muss der Zähler den Grad ___ haben.

✓ Antwort: 4
Der Zählergrad muss genau um 1 größer sein als der Nennergrad: 3 + 1 = 4.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Die schräge Asymptote von f(x) = 3x + 2 + 5/(x − 1) hat die Steigung ___

✓ Antwort: 3
Die Asymptote ist y = 3x + 2, der Rest 5/(x − 1) geht gegen 0. Die Steigung ist 3: pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um 3.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

(6x² + 8)/(2x) = 3x + ___/x

✓ Antwort: 4
6x²/(2x) = 3x und 8/(2x) = 4/x.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Für f(x) = x − 2 + 4/(x + 1) ist der Abstand zwischen dem Punkt P des Graphen und dem Punkt Q der Asymptote y = x − 2 bei x = 3 gleich ___

✓ Antwort: 1
Der Abstand ist der Rest 4/(x + 1) = 4/4 = 1. Der Graph liegt bei x = 3 um 1 über der Geraden: P(3 | 2), Q(3 | 1).
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Wie viele der Funktionen (x² + 1)/x, (x + 2)/(x² + 1), (x³ − 1)/(x² + 4) und x²/(x² − 1) haben eine schräge Asymptote?

✓ Antwort: 2
Zählergrad minus Nennergrad: 2 − 1 = 1 (ja), 1 − 2 = −1 (nein), 3 − 2 = 1 (ja), 2 − 2 = 0 (nein, waagrechte Asymptote). Zwei der vier haben eine schräge Asymptote.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

f(x) = x − 4 + 6/(x² + 1) hat die schräge Asymptote y = x − 4. Welchen Wert hat sie bei x = 10?

✓ Antwort: 6
Die Asymptote ist die Gerade y = x − 4: bei x = 10 ist y = 10 − 4 = 6. Der Rest 6/(x² + 1) gehört nicht dazu.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Gib die Steigung der schrägen Asymptote von f(x) = (4x² + 7)/(2x) an.

✓ Antwort: 2
Aufgespalten: (4x² + 7)/(2x) = 2x + 7/(2x). Der Rest 7/(2x) geht gegen 0, die Asymptote ist y = 2x mit der Steigung 2.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

f(x) = x + 3/x hat die schräge Asymptote y = x. Wie groß ist f(x) − x an der Stelle x = 100?

✓ Antwort: 0.03
f(x) − x = 3/x = 3/100 = 0,03. Für wachsendes x wird der Abstand beliebig klein.
KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = (2x² − x + 3)/x. Spalte den Term auf, gib die schräge Asymptote an und untersuche mit dem Restbruch, ob der Graph an den Stellen x = 3 und x = −3 über oder unter der Asymptote liegt. Gib auch die Funktionswerte an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Aufgespalten: f(x) = 2x²/x − x/x + 3/x = 2x − 1 + 3/x. Der Rest 3/x geht für x → ±∞ gegen 0, die schräge Asymptote ist y = 2x − 1. Bei x = 3 ist der Rest 3/3 = 1 > 0: f(3) = 6, der Graph liegt über der Asymptote (die hat dort den Wert 5). Bei x = −3 ist der Rest 3/(−3) = −1 < 0: f(−3) = −8, der Graph liegt unter der Asymptote (Wert −7).
Aufspalten ergibt 2x − 1 + 3/x. Die Asymptote ist y = 2x − 1; der Rest 3/x ist bei x = 3 positiv (darüber), bei x = −3 negativ (darunter).