Term aus Eigenschaften
Ein Graph hat die Polstellen x = −2 und x = 5. Welcher Nenner passt?
Erklärung: Jede Polstelle x₀ gehört zum Faktor (x − x₀): −2 zu (x + 2), 5 zu (x − 5). Im zweiten Nenner sind beide Vorzeichen vertauscht, im dritten stimmt das Vorzeichen bei 5 nicht.
Die senkrechten Asymptoten des Graphen sind gestrichelt gezeichnet. Welcher Nenner passt?
Erklärung: Die Asymptoten liegen bei x = −3 und x = 1. Zu x = −3 gehört (x + 3), zu x = 1 gehört (x − 1). (x − 3)(x + 1) hätte die Polstellen 3 und −1, (x − 3)(x − 1) die Polstellen 3 und 1.
Die Polstelle liegt bei x = −4. Der Nenner enthält den Faktor (x + ___)
Erklärung: Aus x₀ = −4 wird der Faktor (x − (−4)) = (x + 4): Das Vorzeichen kehrt sich um.
f(x) = 5/(x² + bx + c) hat die Polstellen −1 und 3. Dann ist c = ___
Erklärung: Der Nenner ist (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3, also b = −2 und c = −3. Das Absolutglied c ist das Produkt der beiden Nennernullstellen: (−1) · 3.
Ein Graph hat die Nullstellen x = 2 und x = −6. Welcher Zähler passt?
Erklärung: Jede Nullstelle x₁ gehört zum Faktor (x − x₁): 2 zu (x − 2), −6 zu (x + 6). Im zweiten Zähler sind die Vorzeichen vertauscht, im dritten stimmt das Vorzeichen bei −6 nicht.
Der Term f(x) = (x + 3)/(x − 1) hat die Nullstelle x = 3.
Erklärung: Der Zähler x + 3 ist null für x = −3, nicht für 3: Das Vorzeichen im Faktor kehrt sich um. Die Zahl 1 ist die Polstelle.
Der Nenner ist (x − 3)(x + 1). Die Nullstellen des Graphen sind markiert. Welcher Term passt?
Erklärung: Die Nullstellen liegen bei −2 und 4: Zähler (x + 2)(x − 4). Der zweite Term hat die Vorzeichen der Nullstellen vertauscht, der dritte einen anderen Nenner als vorgegeben.
Die Nullstelle liegt bei x = 5. Der Zähler enthält den Faktor (x − ___)
Erklärung: Zur Nullstelle x₁ = 5 gehört der Faktor (x − 5).
f(x) = (x − 1)(x + p)/((x − 2)(x + 3)) soll die Nullstellen 1 und −4 haben. Dann ist p = ___
Erklärung: Die Nullstelle −4 gehört zum Faktor (x + 4), also p = 4. Kontrolle: Der Nenner hat die Nullstellen 2 und −3, keine davon ist 1 oder −4.
Welcher Term hat die waagrechte Asymptote y = 3 und die Polstellen x = 1 und x = −1?
Erklärung: x² − 1 = (x − 1)(x + 1) liefert die Polstellen. Bei gleichem Grad ist y = Zählerkoeffizient / Nennerkoeffizient = 3/1. Bei x²/(3x² − 3) ist y = 1/3, bei 3/(x² − 1) ist der Zählergrad kleiner und y = 0.
Der Graph gehört zu f(x) = a(x − 1)/(x + 2). Welchen Wert hat a?
Erklärung: Die beiden Äste nähern sich für große |x| der Höhe −2. Bei gleichem Grad ist die waagrechte Asymptote y = a/1 = a, also a = −2. a = 2 hat das Vorzeichen falsch, a = −1/2 ist der Kehrwert.
f(x) = a(x − 1)/(x + 2) soll die waagrechte Asymptote y = 5 haben. Dann ist a = ___
Erklärung: Beide Grade sind 1, die Asymptote ist y = a/1 = a. Also a = 5.
f(x) = a(x + 1)(x − 3)/((x − 2)(x + 4)); die gestrichelte waagrechte Asymptote ist gezeichnet. Berechne f(0).
Erklärung: Die Asymptote liegt bei y = −2, und bei gleichem Grad ist y = a/1: a = −2. Dann ist f(0) = −2 · (1 · (−3))/((−2) · 4) = −2 · (−3)/(−8) = −0,75.
f(x) = a/((x − 1)(x + 2)) geht durch den Punkt P(2 | 3). Bestimme a.
Erklärung: P einsetzen: 3 = a/((2 − 1)(2 + 2)) = a/4, also a = 12. 3/4 käme vom Teilen durch 4 statt Multiplizieren, 3 wäre die y-Koordinate selbst.
Gefordert: Nullstelle 3, Polstellen −1 und 2, waagrechte Asymptote y = 2. Was stimmt bei f(x) = 2(x − 3)/((x + 1)(x − 2)) nicht?
Erklärung: Der Zähler hat Grad 1, der Nenner Grad 2: Die Asymptote ist y = 0. Nullstelle 3 (Faktor x − 3) und die Polstellen −1 und 2 stimmen. Für y = 2 müsste der Zähler den Grad 2 haben, zum Beispiel 2(x − 3)(x + 5).
f(x) = a/(x + 3) geht durch den markierten Punkt (1 | 2). Dann ist a = ___
Erklärung: 2 = a/(1 + 3) = a/4, also a = 8.
f(x) = a(x − 2)/((x + 1)(x − 3)); der Graph geht durch den markierten Punkt (0 | 4). Dann ist a = ___
Erklärung: f(0) = a · (−2)/(1 · (−3)) = 2a/3 = 4, also a = 6.
Gesucht ist ein Funktionsterm f mit den Polstellen x = −2 und x = 1, den Nullstellen x = 3 und x = −1 und der waagrechten Asymptote y = 2. Stelle den Term auf, begründe jeden Baustein und prüfe ihn durch f(0) und durch den Grenzwert für x → ∞.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f(x) = 2(x − 3)(x + 1)/((x + 2)(x − 1)): Pole −2 und 1 im Nenner, Nullstellen 3 und −1 im Zähler, Vorfaktor 2 für y = 2; f(0) = 3.