Term aus Eigenschaften

Term from properties

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben

AnalysisGebrochen-rationale FunktionenAsymptotenFunktionen

Umgekehrt entsteht ein passender Funktionsterm aus gegebenen Eigenschaften: Jede Polstelle x₀ liefert einen Faktor (x − x₀) im Nenner, jede Nullstelle x₁ einen im Zähler, und die waagrechte Asymptote y = k legt bei gleichem Grad den Vorfaktor fest. Ein Punkt des Graphen bestimmt einen noch offenen Faktor, die Probe prüft alle Eigenschaften am fertigen Term. Der Abschnitt räumt die Vorzeichenfehler in den Faktoren aus (Arcavi 1994, Produktform lesen) und bereitet Modellieren mit gebrochen-rationalen Funktionen vor.

Pole und Nullstellen einbauen

Umgekehrt entsteht der Term aus den Eigenschaften. Jede Polstelle $x_{0}$ liefert einen Faktor $(x - x_{0})$ im Nenner, jede Nullstelle $x_{1}$ einen im Zähler. Das Vorzeichen kehrt sich um: Eine Polstelle bei −1 gehört zu $(x + 1)$ . Für die Nullstellen z und −3 und die Polstellen p und −1 entsteht $f (x) = \frac{( x - z ) ( x + 3 )}{( x - p ) ( x + 1 )}$ . Kein Faktor darf oben und unten stehen, er würde sich wegkürzen. Beide Polynome haben Grad 2, die waagrechte Asymptote ist $y = 1$ . Das Aufstellen ist ein Baukasten: Jede Eigenschaft liefert genau einen Faktor. Für die Polstellen −1 und 3 ist der Nenner das Produkt $(x + 1) (x - 3) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Verschiebe z und p. Wandern die grünen Nullstellen und die roten Polstellen mit den Faktoren mit?

Asymptote und Probe

Die waagrechte Asymptote legt den Vorfaktor a fest: Bei gleichem Grad ist $y = a$ . Für die Nullstellen 1 und −2, die Polstellen 3 und −1 und $y = 2$ passt $f (x) = \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 2 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )}$ . Ein gegebener Punkt bestimmt einen noch offenen Faktor: Aus $f (0) = \frac{4}{3}$ folgt hier a = 2. Die Probe prüft am fertigen Term Nullstellen, Pole und Grenzverhalten, von Hand oder mit dem Schieberegler. Sie ist Pflicht, denn ein Vorzeichenfehler in einem Faktor verschiebt eine Nullstelle oder Polstelle an die falsche Stelle. Es gibt mehr als einen passenden Term; verlangt wird ein passender, nicht der einzige.

Ändere a. Welche Eigenschaften bleiben gleich, welche folgen a?

Voraussetzungen (1)

Untersuchen und skizzieren

Klasse 11

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Graph hat die Polstellen x = −2 und x = 5. Welcher Nenner passt?

● (x + 2)(x − 5)
○ (x − 2)(x + 5)
○ (x + 2)(x + 5)

Jede Polstelle x₀ gehört zum Faktor (x − x₀): −2 zu (x + 2), 5 zu (x − 5). Im zweiten Nenner sind beide Vorzeichen vertauscht, im dritten stimmt das Vorzeichen bei 5 nicht.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Die senkrechten Asymptoten des Graphen sind gestrichelt gezeichnet. Welcher Nenner passt?

● (x + 3)(x − 1)
○ (x − 3)(x + 1)
○ (x − 3)(x − 1)

Die Asymptoten liegen bei x = −3 und x = 1. Zu x = −3 gehört (x + 3), zu x = 1 gehört (x − 1). (x − 3)(x + 1) hätte die Polstellen 3 und −1, (x − 3)(x − 1) die Polstellen 3 und 1.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Graph hat die Nullstellen x = 2 und x = −6. Welcher Zähler passt?

● (x − 2)(x + 6)
○ (x + 2)(x − 6)
○ (x − 2)(x − 6)

Jede Nullstelle x₁ gehört zum Faktor (x − x₁): 2 zu (x − 2), −6 zu (x + 6). Im zweiten Zähler sind die Vorzeichen vertauscht, im dritten stimmt das Vorzeichen bei −6 nicht.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Term f(x) = (x + 3)/(x − 1) hat die Nullstelle x = 3.

✓ Falsch

Der Zähler x + 3 ist null für x = −3, nicht für 3: Das Vorzeichen im Faktor kehrt sich um. Die Zahl 1 ist die Polstelle.

Multiple Choice #5 35s ▶ Testen

Der Nenner ist (x − 3)(x + 1). Die Nullstellen des Graphen sind markiert. Welcher Term passt?

● f(x) = (x + 2)(x − 4)/((x − 3)(x + 1))
○ f(x) = (x − 2)(x + 4)/((x − 3)(x + 1))
○ f(x) = (x + 2)(x − 4)/((x + 3)(x − 1))

Die Nullstellen liegen bei −2 und 4: Zähler (x + 2)(x − 4). Der zweite Term hat die Vorzeichen der Nullstellen vertauscht, der dritte einen anderen Nenner als vorgegeben.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Welcher Term hat die waagrechte Asymptote y = 3 und die Polstellen x = 1 und x = −1?

● f(x) = 3x²/(x² − 1)
○ f(x) = x²/(3x² − 3)
○ f(x) = 3/(x² − 1)

x² − 1 = (x − 1)(x + 1) liefert die Polstellen. Bei gleichem Grad ist y = Zählerkoeffizient / Nennerkoeffizient = 3/1. Bei x²/(3x² − 3) ist y = 1/3, bei 3/(x² − 1) ist der Zählergrad kleiner und y = 0.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = a(x − 1)/(x + 2). Welchen Wert hat a?

● a = −2
○ a = 2
○ a = −1/2

Die beiden Äste nähern sich für große |x| der Höhe −2. Bei gleichem Grad ist die waagrechte Asymptote y = a/1 = a, also a = −2. a = 2 hat das Vorzeichen falsch, a = −1/2 ist der Kehrwert.

Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

f(x) = a/((x − 1)(x + 2)) geht durch den Punkt P(2 | 3). Bestimme a.

● 12
○ 3/4
○ 3

P einsetzen: 3 = a/((2 − 1)(2 + 2)) = a/4, also a = 12. 3/4 käme vom Teilen durch 4 statt Multiplizieren, 3 wäre die y-Koordinate selbst.

Multiple Choice #9 40s ▶ Testen

Gefordert: Nullstelle 3, Polstellen −1 und 2, waagrechte Asymptote y = 2. Was stimmt bei f(x) = 2(x − 3)/((x + 1)(x − 2)) nicht?

● Die waagrechte Asymptote ist y = 0, nicht y = 2
○ Die Nullstelle ist −3, nicht 3
○ Die Polstelle 2 fehlt

Der Zähler hat Grad 1, der Nenner Grad 2: Die Asymptote ist y = 0. Nullstelle 3 (Faktor x − 3) und die Polstellen −1 und 2 stimmen. Für y = 2 müsste der Zähler den Grad 2 haben, zum Beispiel 2(x − 3)(x + 5).

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Die Polstelle liegt bei x = −4. Der Nenner enthält den Faktor (x + ___)

✓ Antwort: 4

Aus x₀ = −4 wird der Faktor (x − (−4)) = (x + 4): Das Vorzeichen kehrt sich um.

Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Die Nullstelle liegt bei x = 5. Der Zähler enthält den Faktor (x − ___)

✓ Antwort: 5

Zur Nullstelle x₁ = 5 gehört der Faktor (x − 5).

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

f(x) = a(x − 1)/(x + 2) soll die waagrechte Asymptote y = 5 haben. Dann ist a = ___

✓ Antwort: 5

Beide Grade sind 1, die Asymptote ist y = a/1 = a. Also a = 5.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

f(x) = a/(x + 3) geht durch den markierten Punkt (1 | 2). Dann ist a = ___

✓ Antwort: 8

2 = a/(1 + 3) = a/4, also a = 8.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

f(x) = 5/(x² + bx + c) hat die Polstellen −1 und 3. Dann ist c = ___

✓ Antwort: -3

Der Nenner ist (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3, also b = −2 und c = −3. Das Absolutglied c ist das Produkt der beiden Nennernullstellen: (−1) · 3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

f(x) = (x − 1)(x + p)/((x − 2)(x + 3)) soll die Nullstellen 1 und −4 haben. Dann ist p = ___

✓ Antwort: 4

Die Nullstelle −4 gehört zum Faktor (x + 4), also p = 4. Kontrolle: Der Nenner hat die Nullstellen 2 und −3, keine davon ist 1 oder −4.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

f(x) = a(x + 1)(x − 3)/((x − 2)(x + 4)); die gestrichelte waagrechte Asymptote ist gezeichnet. Berechne f(0).

✓ Antwort: -0.75

Die Asymptote liegt bei y = −2, und bei gleichem Grad ist y = a/1: a = −2. Dann ist f(0) = −2 · (1 · (−3))/((−2) · 4) = −2 · (−3)/(−8) = −0,75.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

f(x) = a(x − 2)/((x + 1)(x − 3)); der Graph geht durch den markierten Punkt (0 | 4). Dann ist a = ___

✓ Antwort: 6

f(0) = a · (−2)/(1 · (−3)) = 2a/3 = 4, also a = 6.

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Gesucht ist ein Funktionsterm f mit den Polstellen x = −2 und x = 1, den Nullstellen x = 3 und x = −1 und der waagrechten Asymptote y = 2. Stelle den Term auf, begründe jeden Baustein und prüfe ihn durch f(0) und durch den Grenzwert für x → ∞. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Nenner: (x + 2)(x − 1) wegen der Polstellen −2 und 1. Zähler: (x − 3)(x + 1) wegen der Nullstellen 3 und −1. Gleicher Grad 2, waagrechte Asymptote y = 2 verlangt den Vorfaktor 2: f(x) = 2(x − 3)(x + 1)/((x + 2)(x − 1)). Probe: Nichts kürzt sich; Grenzwert 2·1/1 = 2; f(0) = 2 · (−3) · 1/(2 · (−1)) = 3.

f(x) = 2(x − 3)(x + 1)/((x + 2)(x − 1)): Pole −2 und 1 im Nenner, Nullstellen 3 und −1 im Zähler, Vorfaktor 2 für y = 2; f(0) = 3.