Die waagrechte Asymptote
Welche waagrechte Asymptote hat f(x) = (5x + 1)/(x² + 3)?
Erklärung: Der Zählergrad 1 ist kleiner als der Nennergrad 2: Der Nenner wächst schneller, der Bruch wird beliebig klein, y = 0. Der Zählerkoeffizient 5 und das Verhältnis der Konstanten 1/3 spielen für x → ∞ keine Rolle.
Der Graph gehört zu einer der drei Funktionen. Zu welcher?
Erklärung: Der Graph nähert sich für große |x| der x-Achse: Das ist der Fall bei kleinerem Zählergrad, 4x/(x² + 1). 4x²/(x² + 1) strebt gegen 4, und 4x³/(x² + 1) wächst über alle Grenzen.
Für f(x) = (x + 3)/(x² − 5) gilt lim x→∞ f(x) = ___
Erklärung: Der Zähler hat Grad 1, der Nenner Grad 2. Für große x ist x² viel größer als x, der Bruch strebt gegen 0; der Graph nähert sich rechts der x-Achse.
Ein Wirkstoffspiegel im Blut folgt c(t) = 8t/(t² + 4) in mg/l. Gegen welchen Wert (in mg/l) strebt er für t → ∞?
Erklärung: Zählergrad 1 < Nennergrad 2, also strebt c(t) gegen 0: Der Wirkstoff wird langfristig abgebaut. Der Spiegel steigt zuerst (Maximum bei t = 2) und fällt dann.
Welche waagrechte Asymptote hat f(x) = (8x² + 5)/(2x² − 1)?
Erklärung: Beide Grade sind 2. Die Leitkoeffizienten 8 und 2 geben y = 8/2 = 4. y = 1/4 ist der Kehrwert, y = 8 berücksichtigt nur den Zähler.
Der Graph gehört zu f(x) = (a·x² + 2)/(x² − 1). Welchen Wert hat a?
Erklärung: Für große |x| nähern sich die äußeren Äste der Höhe 3. Bei gleichem Grad ist die waagrechte Asymptote y = a/1 = a, also a = 3. Die 2 im Zähler ist das Absolutglied und beeinflusst die Asymptote nicht.
lim x→∞ (9x² − 4)/(3x² + x) = ___
Erklärung: Gleicher Grad: der Quotient der Leitkoeffizienten 9/3 = 3.
f(x) = (5x² + 3x)/(2x² − 8). Gib den y-Wert der waagrechten Asymptote als Dezimalzahl an.
Erklärung: Gleicher Grad, Leitkoeffizienten 5 und 2: y = 5/2 = 2,5. Die Terme 3x und −8 sind für große |x| unwichtig.
Zähler und Nenner von f(x) = (5x² + 2)/(x² − 9) werden durch x² geteilt. Welcher Term entsteht?
Erklärung: Jeder Summand wird einzeln durch x² geteilt: 5x²/x² = 5, 2/x², x²/x² = 1, −9/x². Wer x² nur „wegstreicht“, verliert die Brüche 2/x² und −9/x²; wer nur durch x teilt, hat nicht durch x² geteilt.
f(x) = (2x − 1)/(x + 3) wird durch x geteilt. Welcher Term entsteht?
Erklärung: Zähler und Nenner werden beide durch x geteilt, jeder Summand einzeln: (2x − 1)/x = 2 − 1/x und (x + 3)/x = 1 + 3/x. Im dritten Term wurde der Nenner nicht geteilt.
Für x → ∞ strebt (7 − 2/x)/(1 + 4/x) gegen ___
Erklärung: 2/x und 4/x gehen gegen 0, es bleibt 7/1 = 7.
Für f(x) = (6x² + x)/(2x² − 9) gilt lim x→−∞ f(x) = ___
Erklärung: Durch x² geteilt: (6 + 1/x)/(2 − 9/x²). Auch für x → −∞ gehen 1/x und 9/x² gegen 0, das Ergebnis ist 6/2 = 3, wie bei +∞: Beide äußeren Äste nähern sich derselben Höhe.
Die Gerade y = 1 ist waagrechte Asymptote von f(x) = (x² + 3x)/(x² + 3). Schneidet der Graph sie?
Erklärung: f(x) = 1 heißt x² + 3x = x² + 3, also 3x = 3 und x = 1: Dort ist f(1) = 4/4 = 1. Eine Asymptote darf geschnitten werden, „nein, nie“ ist der verbreitete Irrtum. Bei x = 0 ist f(0) = 0.
Die Gerade y = 2 ist waagrechte Asymptote des Graphen. An welcher Stelle schneidet der Graph sie?
Erklärung: Links von x = −1 liegt der Graph über der Geraden y = 2, bei x = −1 trifft er sie und verläuft danach darunter. Eine Asymptote darf geschnitten werden. Bei x = 1 schneidet der Graph die x-Achse, „nirgends“ ist der verbreitete Irrtum.
f(x) = (x + 2)/(x² + 1) hat die waagrechte Asymptote y = 0. Der Graph schneidet sie bei x = −2.
Erklärung: Zählergrad 1 < Nennergrad 2, also ist y = 0 Asymptote. Trotzdem ist f(−2) = 0/5 = 0: Der Graph schneidet die Asymptote bei x = −2.
Der Graph von f(x) = (x² + 2x)/(x² + 4) schneidet seine waagrechte Asymptote y = 1 bei x = ___
Erklärung: f(x) = 1 heißt x² + 2x = x² + 4, also 2x = 4 und x = 2. Dort ist f(2) = 8/8 = 1.
f(x) = (3x² − 6x)/(x² + 3) hat die waagrechte Asymptote y = 3. Bei welchem x schneidet der Graph sie?
Erklärung: 3x² − 6x = 3(x² + 3) = 3x² + 9 ergibt −6x = 9, also x = −1,5. Kontrolle: f(−1,5) = (6,75 + 9)/(2,25 + 3) = 15,75/5,25 = 3.
Gegeben ist f(x) = (4x² − 3x + 1)/(2x² + 5). Teile Zähler und Nenner durch x² und bestimme die waagrechte Asymptote. Prüfe dann durch Gleichsetzen, ob der Graph seine Asymptote schneidet, und gib gegebenenfalls die Stelle an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Teilt man durch x², bleibt 4/2 = 2. Gleichsetzen mit 2 gibt 4x² − 3x + 1 = 4x² + 10, also x = −3.