Die waagrechte Asymptote

The horizontal asymptote

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben

AnalysisGebrochen-rationale FunktionenAsymptotenGrenzwerte

Für große |x| entscheiden die höchsten Potenzen: Teilt man Zähler und Nenner durch die höchste Nennerpotenz, gehen alle Brüche a/xᵏ gegen 0. Bei kleinerem Zählergrad ist y = 0 die waagrechte Asymptote, bei gleichem Grad der Quotient der Leitkoeffizienten. Der Abschnitt räumt die Fehlvorstellung aus, der Graph dürfe seine Asymptote nie schneiden (Tall und Vinner 1981), und rechnet den Grenzwert für x → ±∞ am Term statt am Graphen (Greefrath u. a. 2016). Er bereitet die schräge Asymptote vor.

Durch die höchste Potenz teilen

Für große |x| entscheiden die höchsten Potenzen. Bei $f (x) = \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4}$ teilt man Zähler und Nenner durch $x^{2}$ , jeden Summanden einzeln: $f (x) = \frac{3 + \frac{1}{x ^{2}}}{1 - \frac{4}{x ^{2}}}$ . Die Brüche $\frac{1}{x ^{2}}$ und $\frac{4}{x ^{2}}$ gehen für $x \to \pm \infty$ gegen 0, also strebt f gegen $\frac{3}{1} = 3$ : Die Gerade $y = 3$ ist die waagrechte Asymptote. Es zählen nur die Leitkoeffizienten 3 und 1. So ersetzt eine einzige Umformung viele Testwerte, und für x → −∞ ergibt sich dasselbe, weil auch dort 1/x² gegen 0 geht. Dabei wird x² nicht einfach weggestrichen: Aus 1 wird 1/x², und erst dieser Bruch geht gegen 0.

Ändere a und b. Wo liegt die waagrechte Asymptote, und was bewirkt b bei den senkrechten Asymptoten?

Vergleich der Grade

Das Ergebnis hängt nur vom Vergleich der Grade ab. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, wächst der Nenner schneller, und die x-Achse $y = 0$ ist die Asymptote. Ist er gleich, ist $y = \frac{a}{b}$ der Quotient der Leitkoeffizienten, wie eben. Ist er größer, wächst |f(x)| über alle Grenzen und es gibt keine waagrechte Asymptote; ob eine schräge Gerade die Rolle übernimmt, klärt der nächste Abschnitt. Bei $\frac{6 x ^{2} - x}{3 x ^{2} + 2}$ ist es $y = \frac{6}{3} = 2$ .

Erhöhe den Zählergrad m von 0 bis 2. Wann springt die Asymptote von y = 0 nach y = 2?

Die Asymptote darf geschnitten werden

Viele glauben, der Graph dürfe seine Asymptote nie berühren. Doch die Asymptote sagt nur, was für $x \to \pm \infty$ geschieht. Bei $f (x) = \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} + 1}$ ist $y = 1$ waagrechte Asymptote, und der Graph schneidet sie bei $x = 1$ , denn dort gilt $x^{2} + x = x^{2} + 1$ . Rechts davon liegt er darüber, links darunter, und für große |x| kommt er der Geraden beliebig nahe. Die Asymptote ist also keine Wand, sondern eine Aussage über das Ende der x-Achse. Wer das Verhalten für große |x| und die Schnittpunkte mit der Geraden auseinanderhält, vermeidet diesen Irrtum.

Ziehe P entlang des Graphen. Wo ist f(x₀) − 1 gleich null, wo positiv, wo negativ?

Ermöglicht (2)

Die schräge Asymptote

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche waagrechte Asymptote hat f(x) = (5x + 1)/(x² + 3)?

● y = 0
○ y = 5
○ y = 1/3

Der Zählergrad 1 ist kleiner als der Nennergrad 2: Der Nenner wächst schneller, der Bruch wird beliebig klein, y = 0. Der Zählerkoeffizient 5 und das Verhältnis der Konstanten 1/3 spielen für x → ∞ keine Rolle.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Der Graph gehört zu einer der drei Funktionen. Zu welcher?

● f(x) = 4x/(x² + 1)
○ f(x) = 4x²/(x² + 1)
○ f(x) = 4x³/(x² + 1)

Der Graph nähert sich für große |x| der x-Achse: Das ist der Fall bei kleinerem Zählergrad, 4x/(x² + 1). 4x²/(x² + 1) strebt gegen 4, und 4x³/(x² + 1) wächst über alle Grenzen.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche waagrechte Asymptote hat f(x) = (8x² + 5)/(2x² − 1)?

● y = 4
○ y = 1/4
○ y = 8

Beide Grade sind 2. Die Leitkoeffizienten 8 und 2 geben y = 8/2 = 4. y = 1/4 ist der Kehrwert, y = 8 berücksichtigt nur den Zähler.

Multiple Choice #4 35s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = (a·x² + 2)/(x² − 1). Welchen Wert hat a?

● a = 3
○ a = 2
○ a = 1/3

Für große |x| nähern sich die äußeren Äste der Höhe 3. Bei gleichem Grad ist die waagrechte Asymptote y = a/1 = a, also a = 3. Die 2 im Zähler ist das Absolutglied und beeinflusst die Asymptote nicht.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Zähler und Nenner von f(x) = (5x² + 2)/(x² − 9) werden durch x² geteilt. Welcher Term entsteht?

● (5 + 2/x²)/(1 − 9/x²)
○ (5 + 2)/(1 − 9)
○ (5x + 2/x)/(x − 9/x)

Jeder Summand wird einzeln durch x² geteilt: 5x²/x² = 5, 2/x², x²/x² = 1, −9/x². Wer x² nur „wegstreicht“, verliert die Brüche 2/x² und −9/x²; wer nur durch x teilt, hat nicht durch x² geteilt.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

f(x) = (2x − 1)/(x + 3) wird durch x geteilt. Welcher Term entsteht?

● (2 − 1/x)/(1 + 3/x)
○ (2 − 1)/(1 + 3)
○ (2 − 1/x)/(x + 3)

Zähler und Nenner werden beide durch x geteilt, jeder Summand einzeln: (2x − 1)/x = 2 − 1/x und (x + 3)/x = 1 + 3/x. Im dritten Term wurde der Nenner nicht geteilt.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Gerade y = 1 ist waagrechte Asymptote von f(x) = (x² + 3x)/(x² + 3). Schneidet der Graph sie?

● ja, bei x = 1
○ nein, nie
○ ja, bei x = 0

f(x) = 1 heißt x² + 3x = x² + 3, also 3x = 3 und x = 1: Dort ist f(1) = 4/4 = 1. Eine Asymptote darf geschnitten werden, „nein, nie“ ist der verbreitete Irrtum. Bei x = 0 ist f(0) = 0.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Die Gerade y = 2 ist waagrechte Asymptote des Graphen. An welcher Stelle schneidet der Graph sie?

● x = −1
○ x = 1
○ nirgends

Links von x = −1 liegt der Graph über der Geraden y = 2, bei x = −1 trifft er sie und verläuft danach darunter. Eine Asymptote darf geschnitten werden. Bei x = 1 schneidet der Graph die x-Achse, „nirgends“ ist der verbreitete Irrtum.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

f(x) = (x + 2)/(x² + 1) hat die waagrechte Asymptote y = 0. Der Graph schneidet sie bei x = −2.

✓ Wahr

Zählergrad 1 < Nennergrad 2, also ist y = 0 Asymptote. Trotzdem ist f(−2) = 0/5 = 0: Der Graph schneidet die Asymptote bei x = −2.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Für f(x) = (x + 3)/(x² − 5) gilt lim x→∞ f(x) = ___

✓ Antwort: 0

Der Zähler hat Grad 1, der Nenner Grad 2. Für große x ist x² viel größer als x, der Bruch strebt gegen 0; der Graph nähert sich rechts der x-Achse.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

lim x→∞ (9x² − 4)/(3x² + x) = ___

✓ Antwort: 3

Gleicher Grad: der Quotient der Leitkoeffizienten 9/3 = 3.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Für x → ∞ strebt (7 − 2/x)/(1 + 4/x) gegen ___

✓ Antwort: 7

2/x und 4/x gehen gegen 0, es bleibt 7/1 = 7.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = (x² + 2x)/(x² + 4) schneidet seine waagrechte Asymptote y = 1 bei x = ___

✓ Antwort: 2

f(x) = 1 heißt x² + 2x = x² + 4, also 2x = 4 und x = 2. Dort ist f(2) = 8/8 = 1.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Wirkstoffspiegel im Blut folgt c(t) = 8t/(t² + 4) in mg/l. Gegen welchen Wert (in mg/l) strebt er für t → ∞?

✓ Antwort: 0

Zählergrad 1 < Nennergrad 2, also strebt c(t) gegen 0: Der Wirkstoff wird langfristig abgebaut. Der Spiegel steigt zuerst (Maximum bei t = 2) und fällt dann.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

f(x) = (5x² + 3x)/(2x² − 8). Gib den y-Wert der waagrechten Asymptote als Dezimalzahl an.

✓ Antwort: 2.5

Gleicher Grad, Leitkoeffizienten 5 und 2: y = 5/2 = 2,5. Die Terme 3x und −8 sind für große |x| unwichtig.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für f(x) = (6x² + x)/(2x² − 9) gilt lim x→−∞ f(x) = ___

✓ Antwort: 3

Durch x² geteilt: (6 + 1/x)/(2 − 9/x²). Auch für x → −∞ gehen 1/x und 9/x² gegen 0, das Ergebnis ist 6/2 = 3, wie bei +∞: Beide äußeren Äste nähern sich derselben Höhe.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

f(x) = (3x² − 6x)/(x² + 3) hat die waagrechte Asymptote y = 3. Bei welchem x schneidet der Graph sie?

✓ Antwort: -1.5

3x² − 6x = 3(x² + 3) = 3x² + 9 ergibt −6x = 9, also x = −1,5. Kontrolle: f(−1,5) = (6,75 + 9)/(2,25 + 3) = 15,75/5,25 = 3.

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = (4x² − 3x + 1)/(2x² + 5). Teile Zähler und Nenner durch x² und bestimme die waagrechte Asymptote. Prüfe dann durch Gleichsetzen, ob der Graph seine Asymptote schneidet, und gib gegebenenfalls die Stelle an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Durch x² geteilt: f(x) = (4 − 3/x + 1/x²)/(2 + 5/x²). Für x → ±∞ gehen 3/x, 1/x² und 5/x² gegen 0, also f(x) → 4/2 = 2: waagrechte Asymptote y = 2. Gleichsetzen: 4x² − 3x + 1 = 2(2x² + 5) = 4x² + 10, also −3x = 9 und x = −3. Der Graph schneidet die Asymptote bei x = −3, denn f(−3) = 46/23 = 2.

Teilt man durch x², bleibt 4/2 = 2. Gleichsetzen mit 2 gibt 4x² − 3x + 1 = 4x² + 10, also x = −3.