Das Baumdiagramm
Aus einer Urne mit 3 roten (R) und 2 blauen (B) Kugeln wird zweimal gezogen, die Kugel kommt jedes Mal zurück. Welches Ergebnis gehört zum markierten Pfad?
Erklärung: Der Pfad läuft von der Wurzel über den Ast R (1. Zug) und dann über den Ast B (2. Zug) – das Ergebnis heißt „erst rot, dann blau“. „Erst blau, dann rot“ ist ein anderer Pfad des Baums.
Im Baumdiagramm sind „erst rot, dann blau“ und „erst blau, dann rot“ dasselbe Ergebnis, weil beide je eine rote und eine blaue Kugel enthalten.
Erklärung: Die beiden verlaufen über verschiedene Äste, sind also zwei verschiedene Pfade und damit zwei verschiedene Ergebnisse. Beide gehören aber zum Ereignis „eine rote und eine blaue Kugel“.
Erst wird ein Würfel geworfen, danach eine Münze. Wie viele Stufen hat das Baumdiagramm?
Erklärung: Jedes Teilexperiment ist eine Stufe – hier zwei (Würfel, Münze). Die 12 zählt die Pfade (6 · 2), die 6 nur die Äste der ersten Stufe.
Eine Folge von Ästen von der Wurzel bis zu einem Ende des Baumdiagramms heißt ___.
Erklärung: Ein solcher Weg von der Wurzel bis zum Ende heißt Pfad; er entspricht genau einem Ergebnis des Gesamtexperiments.
Im Baum der Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln (zweimal ziehen mit Zurücklegen) – wie viele Pfade gehören zum Ereignis „zwei Kugeln verschiedener Farbe“?
Erklärung: Verschiedene Farben: erst rot, dann blau (RB) und erst blau, dann rot (BR). Das sind 2 der 4 Pfade.
An einem Knoten stehen zwei Äste. Der eine trägt die Wahrscheinlichkeit 0,3. Welche Wahrscheinlichkeit gehört an den Ast mit dem Fragezeichen?
Erklärung: Die Äste eines Knotens ergeben zusammen 1, also 1 − 0,3 = 0,7. 0,3 wäre der Nachbarast noch einmal, 0,5 hieße „beide gleich wahrscheinlich“.
Ein Glücksrad hat drei Felder mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5; 0,3 und 0,2. So können die drei Äste an einem Knoten beschriftet sein.
Erklärung: 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1. Die drei Äste eines Knotens ergeben zusammen genau 1, also ist die Beschriftung möglich.
Der Baum hat in der 2. Stufe vier Äste (zwei Knoten mit je zwei Ästen). Welche Summe ergeben alle vier Äste der 2. Stufe zusammen?
Erklärung: Jeder der zwei Knoten liefert 0,6 + 0,4 = 1, zusammen also 2. Auf 1 kommt jeder Knoten für sich, nicht die ganze Ebene.
An einem Knoten stehen drei Äste. Zwei tragen 0,15 und 0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit am dritten Ast?
Erklärung: 1 − 0,15 − 0,55 = 0,3.
An einem Knoten stehen zwei Äste. Der eine trägt 3/8, der andere trägt ___/8.
Erklärung: Die beiden Äste eines Knotens ergeben zusammen 1 = 8/8, also 8/8 − 3/8 = 5/8.
Ein Glücksrad hat drei Felder A, B und C. Es gilt P(A) = 0,5 und P(B) = P(C). Wie groß ist P(B)?
Erklärung: P(B) + P(C) = 1 − 0,5 = 0,5. Weil beide gleich groß sind, gilt P(B) = 0,5 : 2 = 0,25.
Ein Glücksrad ist zur Hälfte rot, zu einem Drittel blau und zu einem Sechstel grün. Welche Urne bildet das Rad nach?
Erklärung: Mit 6 Kugeln passen die Anteile: 3/6 = ½ rot, 2/6 = ⅓ blau, 1/6 grün. Gleich viele Kugeln je Farbe würden jeder Farbe ⅓ geben; bei 3, 3 und 1 Kugeln (7 insgesamt) wäre rot nur 3/7.
Zwei Münzwürfe entsprechen zweimal Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit einer roten und einer blauen Kugel.
Erklärung: Beim zweiten Wurf sind wieder beide Seiten möglich, genau wie bei der Urne, wenn die gezogene Kugel zurückgelegt wird. Ohne Zurücklegen bliebe im 2. Zug nur eine Kugel.
Eine Spielerin trifft mit der Wahrscheinlichkeit 60 %. Eine Urne soll einen Wurf nachbilden, „Treffer“ ist eine rote Kugel. Welche Urne passt?
Erklärung: Rot muss 60 % der Kugeln sein: 6 von 10. Bei 6 und 6 wäre nur die Hälfte rot, bei 4 und 6 sind es 40 % (Farben vertauscht).
Ein Rad hat P(rot) = 0,25 und P(blau) = 0,75. Eine Urne mit insgesamt 20 Kugeln soll es nachbilden. Wie viele rote Kugeln braucht sie?
Erklärung: 0,25 · 20 = 5 rote Kugeln (und 15 blaue).
Bei einer Tombola gewinnen 30 % der Lose. Eine Urne mit 50 Kugeln soll das nachbilden. Wie viele Gewinnkugeln legt man hinein?
Erklärung: 30 % von 50 sind 0,3 · 50 = 15 Gewinnkugeln; die übrigen 35 Kugeln sind Nieten.
Ein Automat gibt mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 ein süßes und sonst ein saures Bonbon aus. Du ziehst zweimal hintereinander.
Bilde den Automaten durch eine Urne mit 10 Kugeln nach, zeichne das zugehörige Baumdiagramm mit allen Wahrscheinlichkeiten
und nenne die vier Pfade. Prüfe, dass die Äste an jedem Knoten zusammen 1 ergeben.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Kugelzahlen legen die Wahrscheinlichkeiten fest (4 von 10 süß). Weil nach jedem Zug „zurückgelegt“ wird, sieht der Baum in der 2. Stufe an beiden Knoten gleich aus. Jeder Knoten: 0,4 + 0,6 = 1.