Ï€ mit Monte-Carlo
Im Bild liegen 20 zufällige Punkte im Einheitsquadrat, 16 davon im Viertelkreis. Welche Näherung für π ergibt sich?
Erklärung: Der Trefferanteil ist 16/20 = 0,8; er nähert π/4, also π ≈ 4 · 0,8 = 3,2. Die 0,8 vergisst den Faktor 4, die 1,25 teilt 20 durch 16.
Bei sehr vielen Zufallspunkten im Einheitsquadrat liegt der Anteil der Punkte im Viertelkreis nahe bei 0,785.
Erklärung: Der Viertelkreis hat die Fläche π/4 ≈ 0,785, das Quadrat die Fläche 1. Der Trefferanteil nähert sich also 0,785; erst 4 mal dieser Anteil ist die Näherung für π.
Bei einer Simulation im Einheitsquadrat beträgt der Trefferanteil im Viertelkreis 0,79. Welche Näherung für π folgt daraus?
Erklärung: Der Trefferanteil nähert π/4, also π ≈ 4 · 0,79 = 3,16.
Bei 5000 Zufallspunkten liegen 3915 im Viertelkreis. Welche Näherung für π folgt daraus? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.
Erklärung: Trefferanteil 3915 : 5000 = 0,783; π ≈ 4 · 0,783 = 3,132.
In Zeile 2 stehen x = 0,6 und y = 0,9. Welchen Wert liefert die Formel in Zelle C2?
Erklärung: A2² + B2² = 0,36 + 0,81 = 1,17. Das ist größer als 1, die Bedingung ist falsch, also liefert WENN den letzten Wert 0 (kein Treffer). Die 1,17 ist nur die Summe, nicht das Ergebnis von WENN.
Der Punkt (0,6 | 0,7) liegt im Viertelkreis des Einheitsquadrats.
Erklärung: x² + y² = 0,36 + 0,49 = 0,85 ist höchstens 1. Ein Punkt liegt im Viertelkreis, wenn x² + y² ≤ 1 gilt.
Berechne x² + y² für den Punkt (0,3 | 0,4).
Erklärung: 0,3² + 0,4² = 0,09 + 0,16 = 0,25.
Fünf Zufallspunkte stehen in der Tabelle. Wie viele davon liegen im Viertelkreis (x² + y² ≤ 1)?
Erklärung: A: 0,04 + 0,09 = 0,13 ≤ 1 (Treffer). B: 0,81 + 0,64 = 1,45 (nein). C: 0,25 + 0,25 = 0,5 (Treffer). D: 0,01 + 0,9025 = 0,9125 (Treffer). E: 0,49 + 0,5625 = 1,0525 (nein). Das sind 3 Treffer.
Beschreibe, wie du π mit einer Tabellenkalkulation und 1000 Zufallspunkten näherungsweise bestimmst: Nenne die Spalten mit ihren Formeln
(einschließlich der bedingten Anweisung) und die Formel für das Ergebnis. Erkläre dann je einen Vorteil und einen Nachteil gegenüber
der Streifenmethode mit 10 Streifen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Jede Zeile ist ein Punkt: Die WENN-Formel entscheidet über Treffer (x² + y² ≤ 1), der Mittelwert der Trefferspalte ist der Anteil, und 4 mal der Anteil ist die Näherung für π. Die Streifenmethode ist dagegen fest, Monte-Carlo schwankt.
Welches Verfahren liefert bei jeder Wiederholung genau denselben Näherungswert für π?
Erklärung: Die Streifen liegen fest, es wird nichts gewürfelt: Jede Wiederholung rechnet dasselbe. Monte-Carlo schwankt von Lauf zu Lauf, auch mit vielen Punkten (nur weniger stark).
Für den Viertelkreis liefert die Obersumme mit 4 Streifen (Rechtecke über der Kreislinie) für 4 · Fläche einen Wert, der kleiner als π ist.
Erklärung: Die Rechtecke ragen über die Kreislinie hinaus, die Obersumme ist größer als die Fläche π/4. Also ist 4 · Obersumme größer als π (hier 3,495). Die Untersumme wäre kleiner.
Die Untersumme des Viertelkreises mit 10 Streifen hat den Flächenwert 0,72613. Berechne 4 · 0,72613 als untere Schranke für π. Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.
Erklärung: 4 · 0,72613 = 2,90452, gerundet 2,905. Das ist eine untere Schranke für π.
Die Obersumme des Viertelkreises mit 4 Streifen der Breite 0,25 hat die Höhen 1; 0,968; 0,866 und 0,661. Berechne 4 · Obersumme als obere Schranke für π.
Erklärung: Obersumme = 0,25 · (1 + 0,968 + 0,866 + 0,661) = 0,25 · 3,495 = 0,87375. Mal 4: 3,495 – eine obere Schranke für π.