π mit Monte-Carlo

π with Monte Carlo

Mathematik Klasse 10 13 Aufgaben
WahrscheinlichkeitSimulationMonte-CarloTabellenkalkulationPi-Abschätzung

Wirft man zufällige Punkte in das Einheitsquadrat, liegt der Anteil π/4 davon im Viertelkreis (x² + y² ≤ 1); 4 mal der Trefferanteil ist eine Näherung für π. In einer Tabellenkalkulation entscheidet eine bedingte Anweisung (WENN) pro Zeile über Treffer oder nicht. Die Streifenmethode liefert dagegen ohne Zufall feste Schranken (Ober- und Untersumme). Räumt aus, den Trefferanteil selbst für π zu halten oder x + y ≤ 1 als Bedingung zu wählen. Bereitet das bestimmte Integral in Jgst. 13 vor.

Punkte im Viertelkreis

Ein Kreis mit Radius 1 hat die Fläche π; ein Viertel davon, der Viertelkreis, hat die Fläche π/4 und liegt im Einheitsquadrat der Fläche 1. Wirft man zufällige Punkte mit 0 ≤ x, y ≤ 1 in das Quadrat, liegt der Anteil π/4 davon im Viertelkreis. Also gilt Grün sind Treffer, rosa liegen daneben: Bei 200 Punkten sind es 158 Treffer, also .

Erhöhe die Zahl der Punkte. Wie ändert sich die Näherung für π?

Die Tabelle rechnet mit

Eine Tabellenkalkulation erzeugt mit =ZUFALLSZAHL() Zufallszahlen zwischen 0 und 1, je eine für x und y. Eine bedingte Anweisung entscheidet pro Zeile: =WENN(A2^2+B2^2<=1;1;0) liefert 1 für einen Treffer () und sonst 0. Warum ? Der Abstand des Punktes vom Ursprung ist nach dem Satz des Pythagoras ; im Viertelkreis liegt er, wenn dieser Abstand höchstens 1 ist. Der Mittelwert der Spalte C ist der Trefferanteil, und 4 mal dieser Wert ist die Näherung für π.

Tabellenblatt mit Zufallspunkten: Spalte A x, Spalte B y, Spalte C Treffer (1 oder 0); unten das Ergebnis 3,16 A B C 1 x y Treffer 8 0,425 0,827 =WENN(A8^2+B8^2<=1;1;0) → 1 9 0,124 0,223 =WENN(A9^2+B9^2<=1;1;0) → 1 10 0,627 0,948 =WENN(A10^2+B10^2<=1;1;0) → 0 11 0,577 0,397 =WENN(A11^2+B11^2<=1;1;0) → 1 12 0,976 0,047 =WENN(A12^2+B12^2<=1;1;0) → 1 … … … … 202 π ≈ =4*MITTELWERT(C2:C201) → 3,16
Ausschnitt der Tabelle (Zeilen 8 bis 12) mit Punkten der Abbildung oben; das Ergebnis steht in Zeile 202 unter den 200 Punkten.

Ohne Zufall: Streifen

Die Streifenmethode zerlegt den Viertelkreis in Streifen gleicher Breite. Rechtecke, die die Fläche überragen (Obersumme), und Rechtecke darunter (Untersumme) schließen sie ein. Bei 10 Streifen ist 2,905 < π < 3,305, bei 20 ist es 3,028 < π < 3,228. Das Ergebnis ist immer dasselbe; Monte-Carlo liefert dagegen bei jedem Lauf einen anderen Wert. Beide Verfahren nähern sich π, aber auf verschiedenen Wegen: das eine durch Zufall, das andere durch Zerlegen.

Verfeinere die Streifen (Stufe 1: 5, Stufe 2: 10, Stufe 3: 20). Wie verändern sich die Schranken für π?

Voraussetzungen (1)

Simulieren statt rechnen
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Im Bild liegen 20 zufällige Punkte im Einheitsquadrat, 16 davon im Viertelkreis. Welche Näherung für π ergibt sich?

  • ● 3,2
  • ○ 0,8
  • ○ 1,25
Der Trefferanteil ist 16/20 = 0,8; er nähert π/4, also π ≈ 4 · 0,8 = 3,2. Die 0,8 vergisst den Faktor 4, die 1,25 teilt 20 durch 16.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Bei sehr vielen Zufallspunkten im Einheitsquadrat liegt der Anteil der Punkte im Viertelkreis nahe bei 0,785.

✓ Wahr
Der Viertelkreis hat die Fläche π/4 ≈ 0,785, das Quadrat die Fläche 1. Der Trefferanteil nähert sich also 0,785; erst 4 mal dieser Anteil ist die Näherung für π.
Multiple Choice #3 40s ▶ Testen

In Zeile 2 stehen x = 0,6 und y = 0,9. Welchen Wert liefert die Formel in Zelle C2?

  • ● 0
  • ○ 1
  • ○ 1,17
A2² + B2² = 0,36 + 0,81 = 1,17. Das ist größer als 1, die Bedingung ist falsch, also liefert WENN den letzten Wert 0 (kein Treffer). Die 1,17 ist nur die Summe, nicht das Ergebnis von WENN.
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Der Punkt (0,6 | 0,7) liegt im Viertelkreis des Einheitsquadrats.

✓ Wahr
x² + y² = 0,36 + 0,49 = 0,85 ist höchstens 1. Ein Punkt liegt im Viertelkreis, wenn x² + y² ≤ 1 gilt.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welches Verfahren liefert bei jeder Wiederholung genau denselben Näherungswert für π?

  • ● die Streifenmethode mit 10 Streifen
  • ○ Monte-Carlo mit 1000 Zufallspunkten
  • ○ Monte-Carlo mit 100000 Zufallspunkten
Die Streifen liegen fest, es wird nichts gewürfelt: Jede Wiederholung rechnet dasselbe. Monte-Carlo schwankt von Lauf zu Lauf, auch mit vielen Punkten (nur weniger stark).
Wahr / Falsch #6 30s ▶ Testen

Für den Viertelkreis liefert die Obersumme mit 4 Streifen (Rechtecke über der Kreislinie) für 4 · Fläche einen Wert, der kleiner als π ist.

✓ Falsch
Die Rechtecke ragen über die Kreislinie hinaus, die Obersumme ist größer als die Fläche π/4. Also ist 4 · Obersumme größer als π (hier 3,495). Die Untersumme wäre kleiner.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Bei einer Simulation im Einheitsquadrat beträgt der Trefferanteil im Viertelkreis 0,79. Welche Näherung für π folgt daraus?

✓ Antwort: 3.16
Der Trefferanteil nähert π/4, also π ≈ 4 · 0,79 = 3,16.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne x² + y² für den Punkt (0,3 | 0,4).

✓ Antwort: 0.25
0,3² + 0,4² = 0,09 + 0,16 = 0,25.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Untersumme des Viertelkreises mit 10 Streifen hat den Flächenwert 0,72613. Berechne 4 · 0,72613 als untere Schranke für π. Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.

✓ Antwort: 2.905
4 · 0,72613 = 2,90452, gerundet 2,905. Das ist eine untere Schranke für π.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Bei 5000 Zufallspunkten liegen 3915 im Viertelkreis. Welche Näherung für π folgt daraus? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.

✓ Antwort: 3.132
Trefferanteil 3915 : 5000 = 0,783; π ≈ 4 · 0,783 = 3,132.
Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Fünf Zufallspunkte stehen in der Tabelle. Wie viele davon liegen im Viertelkreis (x² + y² ≤ 1)?

✓ Antwort: 3
A: 0,04 + 0,09 = 0,13 ≤ 1 (Treffer). B: 0,81 + 0,64 = 1,45 (nein). C: 0,25 + 0,25 = 0,5 (Treffer). D: 0,01 + 0,9025 = 0,9125 (Treffer). E: 0,49 + 0,5625 = 1,0525 (nein). Das sind 3 Treffer.
KI-bewertete Rechnung #3 300s ▶ Testen

Beschreibe, wie du π mit einer Tabellenkalkulation und 1000 Zufallspunkten näherungsweise bestimmst: Nenne die Spalten mit ihren Formeln (einschließlich der bedingten Anweisung) und die Formel für das Ergebnis. Erkläre dann je einen Vorteil und einen Nachteil gegenüber der Streifenmethode mit 10 Streifen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Spalte A: =ZUFALLSZAHL(), Spalte B: =ZUFALLSZAHL() (Zeilen 2 bis 1001). Spalte C: =WENN(A2^2+B2^2<=1;1;0) – 1 für einen Treffer im Viertelkreis, sonst 0. Ergebnis: =4*MITTELWERT(C2:C1001) (oder 4*SUMME(C2:C1001)/1000), denn der Trefferanteil nähert π/4. Vorteil gegenüber Streifen: leicht zu programmieren, funktioniert auch für unregelmäßige Flächen, mehr Punkte verbessern die Näherung. Nachteil: Der Wert schwankt bei jeder Berechnung und liefert keine sicheren Schranken; die Streifenmethode gibt bei 10 Streifen immer 2,905 < π < 3,305.
Jede Zeile ist ein Punkt: Die WENN-Formel entscheidet über Treffer (x² + y² ≤ 1), der Mittelwert der Trefferspalte ist der Anteil, und 4 mal der Anteil ist die Näherung für π. Die Streifenmethode ist dagegen fest, Monte-Carlo schwankt.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Die Obersumme des Viertelkreises mit 4 Streifen der Breite 0,25 hat die Höhen 1; 0,968; 0,866 und 0,661. Berechne 4 · Obersumme als obere Schranke für π.

✓ Antwort: 3.495
Obersumme = 0,25 · (1 + 0,968 + 0,866 + 0,661) = 0,25 · 3,495 = 0,87375. Mal 4: 3,495 – eine obere Schranke für π.