Ziehen ohne ZurĂŒcklegen
Aus einer Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln wird ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Die erste Kugel war rot. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel blau ist?
ErklĂ€rung: Nach der roten Kugel liegen noch 9 Kugeln in der Urne, davon 6 blaue: 6/9. 6/10 wĂ€re Ziehen mit ZurĂŒcklegen; 5/9 nimmt eine blaue statt der roten Kugel weg.
Eine Urne enthĂ€lt 4 rote und 6 blaue Kugeln. Die erste Kugel (rot) wird nicht zurĂŒckgelegt. Am Ast âzweite Kugel rotâ steht dann 4/9.
ErklĂ€rung: Die gezogene rote Kugel fehlt: Es bleiben 3 rote unter 9 Kugeln, am Ast steht 3/9. Die 4/9 wĂŒrden zĂ€hlen, als wĂ€re keine rote Kugel entnommen worden.
In einer Urne liegen 5 rote und 3 blaue Kugeln. Die erste gezogene Kugel ist rot und wird nicht zurĂŒckgelegt. Dann gilt P(zweite rot) = ___/7.
ErklÀrung: Es bleiben 4 rote und 3 blaue Kugeln, also 7 Kugeln; 4 davon sind rot.
Aus 4 roten und 6 blauen Kugeln werden zwei nacheinander ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Wie groĂ ist P(rot, rot)? Gib die Wahrscheinlichkeit auf drei Nachkommastellen gerundet an.
ErklĂ€rung: P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15 â 0,133. Mit ZurĂŒcklegen wĂ€ren es 4/10 · 4/10 = 0,16.
Bei welchem Vorgang hÀngen die Wahrscheinlichkeiten der 2. Stufe vom 1. Zug ab?
ErklĂ€rung: Behaltene Lose fehlen in der Trommel, die zweite Ziehung hat andere Wahrscheinlichkeiten. WĂŒrfel und Rad haben kein âVorherâ: Jeder Wurf und jede Drehung beginnt gleich.
Der Baum zeigt zwei ZĂŒge aus einer Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln ohne ZurĂŒcklegen.
ErklĂ€rung: In der 2. Stufe stehen an beiden Knoten dieselben Zahlen 4/10 und 6/10 â die 2. Stufe hĂ€ngt nicht vom 1. Zug ab. Das ist ein Baum fĂŒr Ziehen mit ZurĂŒcklegen.
Aus einem Kartenspiel werden nacheinander zwei Karten gezogen und beiseitegelegt. Die zweite Karte hat dieselben Wahrscheinlichkeiten wie die erste.
ErklÀrung: Die erste Karte fehlt nach dem Ziehen im Stapel. Die zweite Ziehung hat also weniger Karten und verÀnderte Wahrscheinlichkeiten.
Aus 4 roten und 6 blauen Kugeln wird zweimal mit ZurĂŒcklegen gezogen. Wie groĂ ist P(rot, rot)?
ErklÀrung: 4/10 · 4/10 = 0,16.
In einer Klasse sind 12 Jungen und 8 MĂ€dchen. Zwei Kinder werden nacheinander ausgelost (niemand doppelt). Wie groĂ ist P(zwei MĂ€dchen)? Gib die Wahrscheinlichkeit auf drei Nachkommastellen gerundet an.
ErklĂ€rung: Beim Auslosen fehlt das erste MĂ€dchen: P = 8/20 · 7/19 = 56/380 â 0,147. Mit 8/20 · 8/20 = 0,16 wĂŒrde dieselbe Person doppelt gezogen.
Zwei Kugeln werden gleichzeitig aus einer Urne mit 4 roten (R) und 6 blauen (B) Kugeln gezogen. Welche Pfade des Baums gehören zu âeine rote, eine blaueâ?
ErklÀrung: Beim gleichzeitigen Ziehen ist die Reihenfolge egal, also zÀhlen beide Pfade RB und BR. Nur RB vergisst einen Pfad; RR und BB haben zwei gleiche Farben.
Zwei Kugeln gleichzeitig zu ziehen liefert dieselben Wahrscheinlichkeiten wie zwei Kugeln nacheinander ohne ZurĂŒcklegen zu ziehen.
ErklĂ€rung: Beim gleichzeitigen Ziehen kann keine Kugel doppelt gezogen werden, genau wie ohne ZurĂŒcklegen. Man muss nur die Pfade beider Reihenfolgen zusammenfassen.
Aus 4 roten und 6 blauen Kugeln werden zwei gleichzeitig gezogen. Die Pfade RB und BR haben je 4/15. Dann gilt P(genau eine rote) = ___/15.
ErklĂ€rung: Ăber die Pfade wird addiert: 4/15 + 4/15 = 8/15.
Aus 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6 werden zwei gleichzeitig gezogen. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel 6 dabei ist? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.
ErklĂ€rung: Gegenereignis: keine 6 unter beiden Kugeln, 5/6 · 4/5 = 4/6 = 2/3. Also P = 1 â 2/3 = 1/3 â 0,333.
Aus 4 roten und 6 blauen Kugeln werden drei nacheinander ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Welcher Term gibt P(dreimal rot)?
ErklĂ€rung: In jeder Stufe fehlt eine Kugel mehr: ZĂ€hler 4, 3, 2 und Nenner 10, 9, 8. Der Term mit 4/10 dreimal gehört zum Ziehen mit ZurĂŒcklegen; bei 2/9 wurde vergessen, dass der Nenner mit jedem Zug sinkt.
Beim Ziehen von drei Kugeln nacheinander ohne ZurĂŒcklegen aus 10 Kugeln steht am Ast der 3. Stufe im Nenner die Zahl 8.
ErklÀrung: Vor dem 3. Zug sind 2 Kugeln entnommen, es bleiben 8. Die Nenner der drei Stufen sind 10, 9 und 8.
Berechne 4/10 · 3/9 · 2/8 als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen gerundet.
ErklĂ€rung: 4/10 · 3/9 · 2/8 = 24/720 = 1/30 â 0,0333.
In einer Schachtel liegen 5 rote und 3 grĂŒne Stifte. Ohne Hinsehen zieht man drei Stifte nacheinander ohne ZurĂŒcklegen. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei rot sind? Gib sie auf vier Nachkommastellen gerundet an.
ErklĂ€rung: P = 5/8 · 4/7 · 3/6 = 60/336 = 5/28 â 0,1786.
Eine Urne enthĂ€lt 5 weiĂe und 3 schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne ZurĂŒcklegen gezogen.
Zeichne das vollstĂ€ndige Baumdiagramm mit allen Wahrscheinlichkeiten, prĂŒfe an jedem Knoten, dass die Ăste 1 ergeben,
und berechne P(zwei Kugeln gleicher Farbe). ErklĂ€re kurz, warum das Ergebnis mit ZurĂŒcklegen anders wĂ€re.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Ohne ZurĂŒcklegen hat die zweite Stufe nur noch 7 Kugeln. Die beiden Pfade WW und SS werden addiert: 20/56 + 6/56 = 13/28 â 0,464.