Simulieren statt rechnen
Ein SchĂĽtze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 30 %. Ein Schuss wird mit einer Zufallsziffer von 0 bis 9 simuliert (jede Ziffer gleich wahrscheinlich). Welche Zuordnung passt?
Erklärung: Drei der zehn Ziffern sind 30 %. Bei 0 bis 3 wären es vier Ziffern (40 %), bei „nur 3“ nur eine (10 %).
Ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 lässt sich mit einem normalen Würfel genau simulieren.
Erklärung: Ein Würfel hat 6 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Man kann sie nicht in Gruppen mit einem Anteil von genau 1/4 aufteilen (1,5 Zahlen wären nötig); zur Simulation braucht man ein anderes Gerät, etwa vier gleich große Rad-Felder.
Eine Familie mit drei Kindern soll simuliert werden (Junge oder Mädchen je 1/2). Welches Zufallsgerät bildet ein Kind richtig nach?
Erklärung: Die Münze hat zwei gleich wahrscheinliche Seiten, passend zu 1/2. Beim Würfel wäre P(Junge) = 1/6, beim Rad 1/3.
Ein Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,6 und wird mit einer Zufallsziffer von 0 bis 9 simuliert. Wie viele der zehn Ziffern zählt man als Treffer?
Erklärung: 0,6 · 10 = 6 Ziffern, zum Beispiel 0 bis 5.
Zweistellige Zufallszahlen von 00 bis 99 sollen ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0,35 simulieren. Wie viele dieser 100 Zahlen zählen als Treffer?
Erklärung: 0,35 · 100 = 35 Zahlen, zum Beispiel 00 bis 34.
Eine Simulation hatte 200 Durchgänge, in 74 davon trat das Ereignis ein. Welche Näherung ergibt sich für seine Wahrscheinlichkeit?
Erklärung: Die relative Häufigkeit ist Treffer : Durchgänge = 74 : 200 = 0,37. Die 0,74 vergisst, durch 200 zu teilen, die 2,7 teilt 200 durch 74.
Bei der Simulation „Augensumme 7 mit zwei Würfeln“ ist ein Durchgang ein Wurf beider Würfel, dessen Summe ausgewertet wird.
Erklärung: Ein Durchgang spielt das ganze Experiment einmal nach, hier beide Würfel. Erst dann lässt sich „Summe 7: ja oder nein“ festhalten.
Bei 500 Durchgängen trat das Ereignis 140-mal ein. Wie groß ist die relative Häufigkeit?
Erklärung: 140 : 500 = 0,28.
Drei Kinder werden simuliert; jede Ziffer steht für ein Kind, und die Ziffern 0 und 1 bedeuten „krank“ (P = 0,2). Die Tabelle zeigt fünf Durchgänge zu je drei Ziffern. In wie vielen Durchgängen ist mindestens ein Kind krank?
Erklärung: Durchgang 2 (0 5 7), 3 (1 1 3) und 5 (9 0 4) enthalten eine 0 oder 1. Die Durchgänge 1 und 4 haben keine, also sind es 3 von 5.
Eine Familie hat drei Kinder, Junge und Mädchen sind je gleich wahrscheinlich. Entwirf eine Simulation für „mindestens zwei Mädchen“:
Nenne ein Zufallsgerät samt Zuordnung, beschreibe einen Durchgang und wie du die Näherung bestimmst.
Werte dann diese zehn Durchgänge aus (M = Mädchen, J = Junge): MMJ, JJJ, JMJ, MMM, JMM, JJM, MJJ, JJJ, MJM, JJM.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Ein Durchgang ist eine ganze Familie mit drei Kindern. In den zehn Durchgängen haben MMJ, MMM, JMM und MJM mindestens zwei Mädchen: h = 4/10 = 0,4. Der Rechenwert ist 0,5; zehn Durchgänge sind zu wenig für eine feine Näherung.
Zwei Klassen simulieren dasselbe Ereignis. Klasse A macht 100 Durchgänge und erhält h = 0,31, Klasse B macht 5000 Durchgänge und erhält h = 0,367. Welchem Wert vertraut man mehr?
Erklärung: Je mehr Durchgänge, desto stabiler die relative Häufigkeit. Beide gleich zu behandeln übersieht den Unterschied von 100 zu 5000; ein kleinerer Wert ist nicht „vorsichtiger“, sondern nur die kürzere Serie.
Zwei Gruppen führen dieselbe Simulation mit je 1000 Durchgängen aus. Ihre Werte für h können sich voneinander unterscheiden.
Erklärung: Jede Serie ist ein eigenes Zufallsergebnis, die Werte schwanken um die Wahrscheinlichkeit. Zwei Serien mit 1000 Durchgängen liegen nahe beieinander, sind aber fast nie gleich.
Ein Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,37. Bei 2000 Durchgängen erwartet man etwa wie viele Treffer?
Erklärung: 0,37 · 2000 = 740 Treffer, in einer echten Serie etwas mehr oder weniger.
Bei der Simulation der vertauschten Briefe trat „kein Brief passt“ in 1200 Durchgängen 440-mal ein. Welche Näherung ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.
Erklärung: 440 : 1200 = 0,3667…, gerundet 0,367.