Simulieren statt rechnen

Simulating instead of calculating

Mathematik Klasse 10 14 Aufgaben
WahrscheinlichkeitSimulationMonte-Carlo

Was sich nicht berechnen lässt, spielt man nach: Ein Zufallsgerät (Zufallsziffern, Würfel, Rad) bildet das Experiment nach, jeder Durchgang wird ausgewertet, und die relative Häufigkeit vieler Durchgänge ist ein Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit. Am Beispiel der vertauschten Briefe: Zuordnung wählen, Ablauf festlegen, Serien vergleichen. Räumt aus, dass eine Simulation den exakten Wert liefert oder dass eine kurze Serie genügt. Bereitet Geburtstagsproblem, Ziegenproblem und die Monte-Carlo-Methode vor.

Das Experiment nachbauen

Manche Wahrscheinlichkeiten lassen sich nicht berechnen. Dann bildet man das Experiment mit einem Zufallsgerät nach und wertet viele Durchgänge aus. Ein Schütze trifft mit 30 %. Eine Zufallsziffer von 0 bis 9 hat zehn gleich wahrscheinliche Werte; 0, 1 und 2 stehen für „Treffer“, 3 bis 9 für „daneben“. Auch ein Rad mit 3 roten und 7 blauen Feldern leistet das. Die Zuordnung muss die Wahrscheinlichkeit genau treffen. Vor dem Simulieren klärt man drei Fragen: Was ist ein Durchgang, was zählt als Treffer, und welches Gerät passt? Das Rad ist bequem für wenige Versuche; für viele nimmt man Zufallsziffern oder eine Tabellenkalkulation.

Drehe das Rad oft und zähle die roten Treffer. Wie nahe kommt ihr Anteil an 0,3?

Vertauschte Briefe

Sechs Briefe werden zufällig in sechs beschriftete Umschläge gesteckt. Wie wahrscheinlich passt kein einziger Brief? Rechnen ist schwer, Nachspielen einfach: Man mischt sechs nummerierte Karten und prüft, ob Karte k an Platz k liegt. Ein Durchgang ist ein ganzes Mischen. Die relative Häufigkeit von „kein Treffer“ nach vielen Durchgängen ist ein Näherungswert. Er schwankt von Serie zu Serie und wird mit mehr Durchgängen stabiler, aber nie exakt. Der exakte Wert, den man später berechnen kann, beträgt etwa 0,368; die Simulation liegt schon nahe daran.

Vergrößere die Zahl der Durchgänge. Ab wann liegen die beiden Serien nahe beieinander?

Ermöglicht (3)

Das Geburtstagsproblem
Klasse 10
›
Das Ziegenproblem
Klasse 10
›
Ď€ mit Monte-Carlo
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 30s â–¶ Testen

Ein SchĂĽtze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 30 %. Ein Schuss wird mit einer Zufallsziffer von 0 bis 9 simuliert (jede Ziffer gleich wahrscheinlich). Welche Zuordnung passt?

  • â—Ź 0, 1, 2 = Treffer; 3 bis 9 = daneben
  • â—‹ 0 bis 3 = Treffer; 4 bis 9 = daneben
  • â—‹ nur 3 = Treffer; alle anderen = daneben
Drei der zehn Ziffern sind 30 %. Bei 0 bis 3 wären es vier Ziffern (40 %), bei „nur 3“ nur eine (10 %).
Wahr / Falsch #2 30s â–¶ Testen

Ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 lässt sich mit einem normalen Würfel genau simulieren.

âś“ Falsch
Ein Würfel hat 6 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Man kann sie nicht in Gruppen mit einem Anteil von genau 1/4 aufteilen (1,5 Zahlen wären nötig); zur Simulation braucht man ein anderes Gerät, etwa vier gleich große Rad-Felder.
Multiple Choice #3 25s â–¶ Testen

Eine Familie mit drei Kindern soll simuliert werden (Junge oder Mädchen je 1/2). Welches Zufallsgerät bildet ein Kind richtig nach?

  • â—Ź eine MĂĽnze (Kopf = Junge)
  • â—‹ ein WĂĽrfel (6 = Junge, sonst Mädchen)
  • â—‹ ein Rad mit einem Feld Junge und zwei Feldern Mädchen
Die Münze hat zwei gleich wahrscheinliche Seiten, passend zu 1/2. Beim Würfel wäre P(Junge) = 1/6, beim Rad 1/3.
Multiple Choice #4 25s â–¶ Testen

Eine Simulation hatte 200 Durchgänge, in 74 davon trat das Ereignis ein. Welche Näherung ergibt sich für seine Wahrscheinlichkeit?

  • â—Ź 0,37
  • â—‹ 0,74
  • â—‹ 2,7
Die relative Häufigkeit ist Treffer : Durchgänge = 74 : 200 = 0,37. Die 0,74 vergisst, durch 200 zu teilen, die 2,7 teilt 200 durch 74.
Wahr / Falsch #5 20s â–¶ Testen

Bei der Simulation „Augensumme 7 mit zwei Würfeln“ ist ein Durchgang ein Wurf beider Würfel, dessen Summe ausgewertet wird.

âś“ Wahr
Ein Durchgang spielt das ganze Experiment einmal nach, hier beide Würfel. Erst dann lässt sich „Summe 7: ja oder nein“ festhalten.
Multiple Choice #6 30s â–¶ Testen

Zwei Klassen simulieren dasselbe Ereignis. Klasse A macht 100 Durchgänge und erhält h = 0,31, Klasse B macht 5000 Durchgänge und erhält h = 0,367. Welchem Wert vertraut man mehr?

  • â—Ź dem Wert von Klasse B mit 5000 Durchgängen
  • â—‹ beiden gleich viel
  • â—‹ dem Wert von Klasse A mit 100 Durchgängen
Je mehr Durchgänge, desto stabiler die relative Häufigkeit. Beide gleich zu behandeln übersieht den Unterschied von 100 zu 5000; ein kleinerer Wert ist nicht „vorsichtiger“, sondern nur die kürzere Serie.
Wahr / Falsch #7 20s â–¶ Testen

Zwei Gruppen führen dieselbe Simulation mit je 1000 Durchgängen aus. Ihre Werte für h können sich voneinander unterscheiden.

âś“ Wahr
Jede Serie ist ein eigenes Zufallsergebnis, die Werte schwanken um die Wahrscheinlichkeit. Zwei Serien mit 1000 Durchgängen liegen nahe beieinander, sind aber fast nie gleich.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s â–¶ Testen

Ein Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,6 und wird mit einer Zufallsziffer von 0 bis 9 simuliert. Wie viele der zehn Ziffern zählt man als Treffer?

âś“ Antwort: 6
0,6 · 10 = 6 Ziffern, zum Beispiel 0 bis 5.
Zahleneingabe #2 20s â–¶ Testen

Bei 500 Durchgängen trat das Ereignis 140-mal ein. Wie groß ist die relative Häufigkeit?

âś“ Antwort: 0.28
140 : 500 = 0,28.
Zahleneingabe #3 20s â–¶ Testen

Ein Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,37. Bei 2000 Durchgängen erwartet man etwa wie viele Treffer?

âś“ Antwort: 740
0,37 · 2000 = 740 Treffer, in einer echten Serie etwas mehr oder weniger.
Schwer
Zahleneingabe #1 20s â–¶ Testen

Zweistellige Zufallszahlen von 00 bis 99 sollen ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0,35 simulieren. Wie viele dieser 100 Zahlen zählen als Treffer?

âś“ Antwort: 35
0,35 · 100 = 35 Zahlen, zum Beispiel 00 bis 34.
Zahleneingabe #2 40s â–¶ Testen

Drei Kinder werden simuliert; jede Ziffer steht für ein Kind, und die Ziffern 0 und 1 bedeuten „krank“ (P = 0,2). Die Tabelle zeigt fünf Durchgänge zu je drei Ziffern. In wie vielen Durchgängen ist mindestens ein Kind krank?

âś“ Antwort: 3
Durchgang 2 (0 5 7), 3 (1 1 3) und 5 (9 0 4) enthalten eine 0 oder 1. Die Durchgänge 1 und 4 haben keine, also sind es 3 von 5.
KI-bewertete Rechnung #3 300s â–¶ Testen

Eine Familie hat drei Kinder, Junge und Mädchen sind je gleich wahrscheinlich. Entwirf eine Simulation für „mindestens zwei Mädchen“: Nenne ein Zufallsgerät samt Zuordnung, beschreibe einen Durchgang und wie du die Näherung bestimmst. Werte dann diese zehn Durchgänge aus (M = Mädchen, J = Junge): MMJ, JJJ, JMJ, MMM, JMM, JJM, MJJ, JJJ, MJM, JJM. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zufallsgerät: eine Münze pro Kind, Kopf = Mädchen, Zahl = Junge (je 1/2). Ein Durchgang: Münze dreimal werfen und notieren, ob mindestens zweimal Kopf (Mädchen) fiel. Näherung: h = Zahl der Durchgänge mit mindestens zwei Mädchen : Zahl aller Durchgänge. Auswertung: MMJ, MMM, JMM, MJM haben mindestens zwei Mädchen, also 4 von 10, h = 0,4. Mit wenigen Durchgängen schwankt h; der exakte Wert wäre 4/8 = 0,5.
Ein Durchgang ist eine ganze Familie mit drei Kindern. In den zehn Durchgängen haben MMJ, MMM, JMM und MJM mindestens zwei Mädchen: h = 4/10 = 0,4. Der Rechenwert ist 0,5; zehn Durchgänge sind zu wenig für eine feine Näherung.
Zahleneingabe #4 30s â–¶ Testen

Bei der Simulation der vertauschten Briefe trat „kein Brief passt“ in 1200 Durchgängen 440-mal ein. Welche Näherung ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.

âś“ Antwort: 0.367
440 : 1200 = 0,3667…, gerundet 0,367.