Das Ziegenproblem
Das Diagramm zeigt zwei Strategien beim Ziegenproblem, simuliert über viele Spiele (relative Häufigkeit der Gewinne). Welche Strategie gewinnt in etwa 2 von 3 Spielen?
Erklärung: Die Serie um 0,65 gehört zum Wechseln, die um 0,35 zum Bleiben. Die Werte sind Näherungen: 0,65 ≈ 2/3 und 0,35 ≈ 1/3.
Nachdem der Moderator eine Ziegentür geöffnet hat, sind die beiden geschlossenen Türen gleich wahrscheinlich, jede hat die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Erklärung: Die zuerst gewählte Tür behält ihre Wahrscheinlichkeit 1/3, denn der Moderator öffnet nie die Autotür. Die andere geschlossene Tür hat deshalb 2/3.
In einer Simulation mit 300 Spielen gewinnt die Strategie „Wechseln“ 205-mal. Wie groß ist die relative Häufigkeit? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.
Erklärung: 205 : 300 = 0,6833…, gerundet 0,683; das liegt in der Nähe von 2/3.
Wechseln gewinnt beim Ziegenproblem mit der Wahrscheinlichkeit 2/3. Wie viele Gewinne erwartet man bei 900 Spielen etwa?
Erklärung: 2/3 · 900 = 600 Gewinne; in einer echten Serie etwas mehr oder weniger.
Der Spieler wählt Tür 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades „Auto hinter Tür 1, Moderator öffnet Tür 3“?
Erklärung: Entlang des Pfades wird multipliziert: 1/3 · 1/2 = 1/6. Die 1/3 wäre nur der erste Ast, die 1/2 nur der zweite.
Steht das Auto hinter Tür 2 und der Spieler hat Tür 1 gewählt, öffnet der Moderator mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 die Tür 3.
Erklärung: Tür 1 ist gewählt, Tür 2 verbirgt das Auto – also bleibt für den Moderator nur Tür 3 mit einer Ziege. Er öffnet Tür 3 mit der Wahrscheinlichkeit 1, nicht 1/2; die 1/2 gehört zum Fall „Auto hinter Tür 1“.
Im Baum gewinnt Wechseln bei den Pfaden „Auto hinter 2“ (1/3 · 1) und „Auto hinter 3“ (1/3 · 1). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Wechseln zu gewinnen? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.
Erklärung: Über die Pfade wird addiert: 1/3 + 1/3 = 2/3 ≈ 0,667.
Beim Ziegenproblem sollen 1800 Spiele gespielt werden, und der Spieler wechselt immer. Wie viele Gewinne erwartet man nach dem Baum (Pfade „Auto hinter 2“ und „Auto hinter 3“, je 1/3)?
Erklärung: P(Wechseln gewinnt) = 1/3 + 1/3 = 2/3, also erwartet man 2/3 · 1800 = 1200 Gewinne.
Was ändert sich beim Ziegenproblem, wenn der Moderator nicht weiß, wo das Auto ist, zufällig eine der beiden anderen Türen öffnet und dabei zufällig eine Ziege zeigt?
Erklärung: Öffnet er zufällig, zeigt er in manchen Spielen das Auto. Zählt man nur die Spiele mit gezeigter Ziege, verrät seine Wahl nichts mehr: Bleiben und Wechseln gewinnen dann je 1/3 aller Spiele, also je 1/2 der gezählten Spiele.
Im Ziegenproblem öffnet der Moderator nie die Tür, hinter der das Auto steht.
Erklärung: Er weiß, wo das Auto steht, und öffnet nie diese Tür. Wenn nur eine Ziegentür übrig ist, bleibt ihm keine Wahl.
Steht das Auto hinter der vom Spieler gewählten Tür, hat der Moderator wie viele Türen zur Wahl, die er öffnen kann?
Erklärung: Beide anderen Türen verbergen Ziegen, er kann eine von zwei öffnen (je mit 1/2). Steht das Auto woanders, bleibt ihm nur eine Tür.
In einer Simulation öffnet der Moderator zufällig, nur die Spiele mit gezeigter Ziege werden gezählt: 90 Spiele. Bleiben gewinnt davon 44. Wie groß ist die relative Häufigkeit für Bleiben? Gib sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.
Erklärung: 44 : 90 = 0,4889…, gerundet 0,489 – nahe bei 1/2. Ohne Wissen des Moderators ist Bleiben nicht mehr schlechter.
Bei 100 Türen wählt der Spieler eine Tür, der Moderator öffnet 98 Ziegentüren. Wie wahrscheinlich gewinnt man beim Wechseln zur einzigen anderen geschlossenen Tür?
Erklärung: Die erste Wahl gewinnt nur mit 1/100. In 99 von 100 Fällen steht das Auto hinter einer anderen Tür, und der Moderator lässt genau diese übrig. Die 1/2 wäre der Fehler „zwei Türen, also halbe-halbe“.
Bei 100 Türen behält die zuerst gewählte Tür auch nach dem Öffnen von 98 Ziegentüren nur die Wahrscheinlichkeit 1/100.
Erklärung: Der Moderator öffnet nie die Autotür, daran ändert sich für die gewählte Tür nichts: 1/100. Die andere geschlossene Tür erbt die übrigen 99/100; „zwei Türen“ heißt nicht „gleich wahrscheinlich“.
Bei 10 Türen wählt der Spieler eine Tür, und der Moderator öffnet 8 Ziegentüren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Bleiben gewinnt (als Dezimalzahl)?
Erklärung: Die erste Wahl trifft das Auto mit 1/10 = 0,1; daran ändert das Öffnen nichts.
Bei 10 Türen (Moderator öffnet 8 Ziegentüren) wechselt der Spieler immer. Wie viele Gewinne erwartet man bei 500 Spielen?
Erklärung: Wechseln gewinnt mit 9/10: 0,9 · 500 = 450 Gewinne.
Beim Ziegenproblem mit drei Türen wählt der Spieler Tür 1; der Moderator öffnet eine Ziegentür. Zeichne das vollständige Baumdiagramm
(1. Stufe: hinter welcher Tür steht das Auto? 2. Stufe: welche Tür öffnet der Moderator?) mit allen Wahrscheinlichkeiten.
Berechne die Pfadwahrscheinlichkeiten, bestimme P(Wechseln gewinnt) und begründe kurz, warum 1/2 falsch ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Moderator öffnet mit Wissen: Nur wenn das Auto hinter Tür 1 steht, hat er zwei Möglichkeiten. Die Pfade, in denen Wechseln gewinnt, haben zusammen 1/3 + 1/3 = 2/3.