Bedingung am Baum
In einer Klasse mit 30 Personen sind 12 Mädchen. Welche der drei Angaben ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Erklärung: Nur „Von den Mädchen …“ schränkt den Grundraum auf die 12 Mädchen ein: 3 von 12 = 25 %. Die 40 % (12 von 30) gelten für die ganze Klasse, die 10 % (3 von 30) sind der Anteil der Mädchen mit Brille an allen.
Unter den 40 Kindern mit Handy haben 10 auch ein Tablet. Der Anteil 10 von 40 ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Erklärung: Der Grundraum sind nur die 40 Kinder mit Handy („Unter den …“), gefragt ist der Anteil des Tablets darin: 10/40 = 0,25. Das ist P_Handy(Tablet).
„Radfahren unter der Bedingung, in der Stadt zu wohnen“ schreibt man P_ ___ (R). Dabei ist R = fährt Rad und S = wohnt in der Stadt.
Erklärung: Die Bedingung steht als Index unten: P_S(R), gelesen „P von R unter S“.
Von 240 Schüler:innen einer Schule sind 90 in der Oberstufe. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit „Fahrrad unter der Bedingung Oberstufe“. Aus wie vielen Personen besteht der Grundraum dieser Wahrscheinlichkeit?
Erklärung: Die Bedingung „Oberstufe“ schränkt auf die 90 Personen der Oberstufe ein – nicht die 240 der ganzen Schule.
Was gibt die 0,6 am Ast von R nach Z an?
Erklärung: Die 0,6 hängt am Knoten R und gilt nur, wenn es regnet: P_R(Z). Die Wahrscheinlichkeit des ganzen Pfades wäre P(R ∩ Z) = 0,3 · 0,6 = 0,18.
Welche dieser Summen ergibt in jedem Baum 1?
Erklärung: Nur die zwei Äste eines Knotens teilen denselben Grundraum und ergeben 1: P_R(Z) + P_R(Z̄) = 1. Bei den anderen beiden Summen stehen die Äste an verschiedenen Knoten (Bedingung R und R̄).
Ein Knoten hat den Ast B mit P_A(B) = 0,35. Wie groß ist die Zahl am anderen Ast desselben Knotens, P_A(B̄)?
Erklärung: Die zwei Äste eines Knotens ergeben zusammen 1: 1 − 0,35 = 0,65.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind ohne Frühstück (F̄) zu spät kommt (S)?
Erklärung: Gefragt ist P_F̄(S): der Ast S am Knoten F̄, also 0,3. Die 0,05 am Ast S nach F gehört zu Kindern mit Frühstück.
Welche Rechnung liefert die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind mit dem Bus fährt und zu spät kommt, P(B ∩ S)?
Erklärung: Entlang des Pfades B, dann S wird multipliziert: P(B ∩ S) = 0,6 · 0,05 = 0,03. Die 0,05 allein ist P_B(S); 0,4 · 0,05 verwendet die falsche erste Stufe (B̄ statt B).
Der Ast von R nach Z trägt die Zahl 0,6. Also ist die Wahrscheinlichkeit für „Regen und Bus zu spät“ gleich 0,6.
Erklärung: Die 0,6 ist nur der Anteil innerhalb von R. Der Pfad hat P(R ∩ Z) = 0,3 · 0,6 = 0,18.
Im Quadrat steht die Gesamtfläche für alle Fälle. Welche Fläche gehört zu P(A ∩ B)?
Erklärung: P(A ∩ B) sind die Fälle, in denen A und B eintreten: in der Spalte A der Teil B, das violette Rechteck. Die ganze Spalte A ist P(A), das blaue Rechteck ist Ā ∩ B.
Es gilt P(A) = 0,5 und P_A(B) = 0,2. Wie groß ist P(A ∩ B)?
Erklärung: P(A ∩ B) = P(A) · P_A(B) = 0,5 · 0,2 = 0,1.
In einer Stadt fahren 35 % der Erwachsenen mit dem Rad (R). Von den Radfahrenden tragen 60 % einen Helm (H). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte erwachsene Person Rad fährt und Helm trägt?
Erklärung: P(R ∩ H) = P(R) · P_R(H) = 0,35 · 0,6 = 0,21. Die 60 % gelten nur unter den Radfahrenden.
Es gilt P(A) = 0,5 und P(A ∩ B) = 0,2. Welcher Wert ist P_A(B)?
Erklärung: P_A(B) = P(A ∩ B) : P(A) = 0,2 : 0,5 = 0,4. 0,2 ist der Schnitt selbst, 0,1 entsteht durch Multiplizieren statt Dividieren.
Es gilt P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,12. Dann ist P_A(B) = 0,12 : 0,3 = 0,4.
Erklärung: Bei P_A(B) bestimmt die Bedingung A den Nenner: 0,12 : 0,6 = 0,2. Durch P(B) zu teilen, ergibt P_B(A) = 0,4 – eine andere Zahl.
Es gilt P(A) = 0,25 und P(A ∩ B) = 0,15. Berechne P_A(B).
Erklärung: P_A(B) = 0,15 : 0,25 = 0,6.
An 30 % der Tage regnet es (R). An 24 % der Tage regnet es und es gibt Stau (S). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Stau an einem Regentag, P_R(S)?
Erklärung: P_R(S) = P(R ∩ S) : P(R) = 0,24 : 0,3 = 0,8. Die 24 % beziehen sich auf alle Tage, nicht nur auf Regentage.
Eine Firma hat 30 % Notdienst-Aufträge (N). Bei Notdiensten muss in 80 % der Fälle Material nachbestellt werden (M), bei allen anderen Aufträgen in 25 %. Zeichne den Baum mit beiden Stufen, berechne die vier Pfadwahrscheinlichkeiten und damit P(M).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Pfad für Pfad multiplizieren (Baum: erst 0,3 · 0,8, …), dann die beiden Pfade mit M addieren: 0,24 + 0,175 = 0,415.
Baumdiagramm: P(A) = 0,5 und auf dem Ast danach P_A(B) = 0,6. Wie viel Prozent hat der Pfad A und B?
Pfadregel: 0,5 · 0,6 = 0,3, also 30 %.
In einer Schule mit 200 Kindern fahren 80 mit dem Rad (R). Von diesen 80 wohnen 60 im Dorf (D). Von den 120 anderen wohnen 30 im Dorf. Wie groß ist P_R(D)?
Das ist P(R ∩ D). Unter der Bedingung R zählen nur die 80.
Unter der Bedingung R zählen nur die 80 Radfahrer: 60/80.
In einem Verein mit 150 Mitgliedern spielen 50 Tennis (T). Von diesen 50 sind 20 Kinder (K). Von den 100 anderen sind 40 Kinder. Wie groß ist P_T(K)?
Das ist P(T ∩ K). Unter der Bedingung T zählen nur die 50.
Unter der Bedingung T zählen nur die 50 Tennisspieler: 20/50.
In einer Schule mit 200 Kindern fahren 80 mit dem Rad (R). Von diesen 80 wohnen 60 im Dorf (D). Von den 120 anderen wohnen 30 im Dorf. Wie groß ist P_D(R)?
Das ist P_R(D). Hier ist die Bedingung D.
Unter der Bedingung D zählen nur die 60 + 30 = 90 Dorfkinder: 60/90.
In einem Verein mit 150 Mitgliedern spielen 50 Tennis (T). Von diesen 50 sind 20 Kinder (K). Von den 100 anderen sind 40 Kinder. Wie groß ist P_K(T)?
Das ist P_T(K). Hier ist die Bedingung K.
Unter der Bedingung K zählen nur die 20 + 40 = 60 Kinder: 20/60.
In einer Schule mit 200 Kindern fahren 80 mit dem Rad (R). Von diesen 80 wohnen 60 im Dorf (D). Von den 120 anderen wohnen 30 im Dorf. Ist P_R(D) gleich P_D(R)?
Nein: P_R(D) = 60/80, P_D(R) = 60/90. Die Bedingung ändert, wer zählt.
In einem Verein mit 150 Mitgliedern spielen 50 Tennis (T). Von diesen 50 sind 20 Kinder (K). Von den 100 anderen sind 40 Kinder. Ist P_T(K) gleich P_K(T)?
Nein: P_T(K) = 20/50, P_K(T) = 20/60. Die Bedingung ändert, wer zählt.
Baumdiagramm: P(A) = 0,4 und P_A(B) = 0,5. Wie viel Prozent ist P(A ∩ B)?
Entlang eines Pfades wird multipliziert, nicht addiert.
Pfadregel: 0,4 · 0,5 = 0,2, also 20 %.
Baumdiagramm: P(A) = 0,3 und P_A(B) = 0,6. Wie viel Prozent ist P(A ∩ B)?
Entlang eines Pfades wird multipliziert, nicht addiert.
Pfadregel: 0,3 · 0,6 = 0,18, also 18 %.
P(A) = 0,5 und P(A ∩ B) = 0,2. Wie viel Prozent ist P_A(B)?
Geteilt wird durch P(A), nicht malgenommen.
P_A(B) = 0,2 : 0,5 = 0,4, also 40 %.
P(A) = 0,8 und P(A ∩ B) = 0,2. Wie viel Prozent ist P_A(B)?
Geteilt wird durch P(A), nicht malgenommen.
P_A(B) = 0,2 : 0,8 = 0,25, also 25 %.
„Von den Mädchen trägt jedes dritte eine Brille." Welche Wahrscheinlichkeit ist 1/3? (M: Mädchen, B: Brille)
Die Bedingung „von den Mädchen" steht unten: P_M(B).
„Von den Hundebesitzern geht jeder zweite joggen." Welche Wahrscheinlichkeit ist 1/2? (H: Hund, J: joggt)
Die Bedingung „von den Hundebesitzern" steht unten: P_H(J).