Teilmengen und KausalitÀt
Von 200 Personen sind 120 in der Unterstufe (U) und 80 in der Oberstufe (O). Welcher Anteil hat insgesamt ein Handy?
ErklĂ€rung: Unterstufe: 40 % von 120 = 48, Oberstufe: 80 % von 80 = 64. Zusammen 112 von 200 = 56 %. 60 % wĂ€re das ungewichtete Mittel von 40 % und 80 %; die gröĂere Gruppe zĂ€hlt mehr.
Haben 60 % einer Gesamtgruppe ein Handy, so kann der Anteil in einer Teilgruppe 40 % und in einer anderen 80 % betragen.
ErklĂ€rung: Der Gesamtanteil ist ein gewichtetes Mittel: Teilgruppen können darĂŒber und darunter liegen, etwa 40 % und 80 % bei passenden GruppengröĂen. Bedingte Wahrscheinlichkeiten hĂ€ngen von der betrachteten Teilmenge ab.
In der Gruppe der Unter-30-JĂ€hrigen (200 Personen) nutzen 150 ein Streamingportal. Wie viel Prozent sind das in dieser Teilmenge?
ErklĂ€rung: 150 : 200 = 0,75 = 75 % â bezogen auf die Teilmenge, nicht auf alle Befragten.
Gruppe 1 hat 300 Personen, davon haben 30 % eine Eigenschaft; Gruppe 2 hat 100 Personen, davon haben 70 % sie. Wie viel Prozent der 400 Personen haben die Eigenschaft?
ErklÀrung: Gruppe 1: 90, Gruppe 2: 70, zusammen 160 von 400 = 40 %. Das Mittel von 30 % und 70 % (50 %) wÀre falsch, weil Gruppe 1 dreimal so groà ist.
Das Diagramm zeigt den Anteil pĂŒnktlicher Lieferungen zweier Dienste. Wie schneidet Dienst A im Vergleich mit B ab?
ErklĂ€rung: Das ist das Simpson-Paradox: A liefert 70 % seiner Pakete bei Regen, B nur 10 %. Der Gesamtanteil ist ein gewichteter Mittelwert, die Gruppenwerte gelten aber je Wetter. Von âinsgesamtâ auf âin jeder Gruppeâ (oder umgekehrt) darf man nicht schlieĂen.
Dienst A liefert 30 Pakete bei trockenem Wetter (90 % pĂŒnktlich) und 70 Pakete bei Regen (60 % pĂŒnktlich). Also sind insgesamt 75 % der Pakete pĂŒnktlich.
ErklÀrung: 75 % wÀre das ungewichtete Mittel von 90 % und 60 %. Bei 30 trockenen und 70 Regen-Lieferungen zÀhlt der Regen mehr: (27 + 42) : 100 = 69 %.
Wie viel Prozent der Lieferungen von Dienst A sind insgesamt pĂŒnktlich?
ErklĂ€rung: PĂŒnktlich sind 27 + 42 = 69 von 30 + 70 = 100 Lieferungen: 69 %. Die Zeilen der Tabelle stehen fĂŒr die Wetterlagen, das Gesamtergebnis gewichtet sie mit ihrer GröĂe.
Ein Dienst ist bei trockenem Wetter zu 90 %, bei Regen zu 60 % pĂŒnktlich. Wie viel Prozent seiner Lieferungen mĂŒssen bei Regen stattfinden, damit er insgesamt zu 75 % pĂŒnktlich ist?
ErklĂ€rung: Gesucht ist der Anteil w mit 0,9 · (1 â w) + 0,6 · w = 0,75. Das ergibt 0,9 â 0,3 w = 0,75, also w = 0,5 = 50 %. Bei mehr Regen-Lieferungen sinkt der Gesamtanteil weiter.
In Landkreisen mit mehr Störchen werden mehr Kinder geboren. Welcher Schluss ist zulÀssig?
ErklĂ€rung: Ein gemeinsames Auftreten zeigt nur einen Zusammenhang (Korrelation). Weder die Richtung (âStörche bringen Kinderâ oder âKinder locken Störcheâ) noch eine Ursache folgt daraus â hier steckt die Landschaft (lĂ€ndlich, viel Platz) dahinter.
Im Sommer steigen Limonadenverkauf und Zahl der BadeunfÀlle gemeinsam. Also verursacht Limonade BadeunfÀlle.
ErklÀrung: Die Kurven verlaufen gleich, aber das belegt keine Ursache: Beide steigen, weil es warm ist und mehr Menschen baden. Der Zusammenhang ist eine Korrelation, keine KausalitÀt.
Ein gemeinsames Auftreten oder Ausbleiben zweier GröĂen nennt man ___. Es belegt keine Ursache.
ErklÀrung: Der Fachbegriff ist Korrelation: statistischer Zusammenhang, noch keine KausalitÀt.
In 12 Monaten: In den 7 Monaten mit hohem Eisverkauf gab es in 6 Monaten viele SonnenbrĂ€nde, in den 5 Monaten mit niedrigem Eisverkauf in 1 Monat. Um wie viele Prozentpunkte ist der Anteil âviel Sonnenbrandâ bei hohem Eisverkauf höher?
ErklĂ€rung: Bei hohem Eisverkauf: 6 : 7 â 85,7 %, bei niedrigem: 1 : 5 = 20 %. Differenz â 65,7 Prozentpunkte. Ein so deutlicher Unterschied zeigt AbhĂ€ngigkeit â aber noch keine Ursache.
Bei Kindern hĂ€ngen SchuhgröĂe und LesefĂ€higkeit zusammen. Welche dritte GröĂe erklĂ€rt das am besten?
ErklĂ€rung: Mit dem Alter wachsen die FĂŒĂe und verbessert sich das Lesen. Das Alter ist die StörgröĂe, die beide GröĂen bewirkt â Schuhe machen niemanden zum besseren Leser.
Innerhalb jeder Altersgruppe zeigt sich kein Zusammenhang zwischen SchuhgröĂe und LesefĂ€higkeit. Das spricht dafĂŒr, dass das Alter die StörgröĂe ist.
ErklĂ€rung: Wenn der Zusammenhang verschwindet, sobald man das Alter festhĂ€lt, erklĂ€rt das Alter beide GröĂen. Das ist die Idee, innerhalb gleicher StörgröĂe zu vergleichen.
Eine dritte GröĂe, die beide beobachteten GröĂen beeinflusst, heiĂt ___ (ein Wort mit S).
ErklĂ€rung: Eine StörgröĂe (gemeinsame Ursache) erzeugt einen Zusammenhang, ohne dass eine GröĂe die andere bewirkt.
An 100 sonnigen Tagen ist an 80 Tagen der Eisverkauf hoch (A) und an 60 Tagen die Zahl der SonnenbrÀnde hoch (B). An sonnigen Tagen sind A und B unabhÀngig. An wie vielen dieser Tage treten beide auf?
ErklĂ€rung: Bei UnabhĂ€ngigkeit gilt P(A â© B) = P(A) · P(B) = 0,8 · 0,6 = 0,48, also 48 von 100 sonnigen Tagen. Innerhalb der StörgröĂe âsonnigâ besteht kein Zusammenhang mehr.
Zwei Nachhilfekurse X und Y haben je 100 Teilnehmende. Kurs X: 10 leichte FÀlle, davon verbessern sich 9, und 90 schwierige, davon verbessern sich 54. Kurs Y: 90 leichte FÀlle, davon verbessern sich 72, und 10 schwierige, davon verbessern sich 4. Berechne die Anteile der Verbesserten in jeder Gruppe und insgesamt. ErklÀre, warum X insgesamt schlechter aussieht, obwohl es in beiden Gruppen besser ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Der Gesamtanteil gewichtet die Gruppenanteile mit den GruppengröĂen: X hat fast nur schwierige FĂ€lle (Gewicht 90 % auf 60 %), Y fast nur leichte (Gewicht 90 % auf 80 %). Deshalb 63 % gegen 76 %, obwohl X in beiden Gruppen besser ist.