Test und Krankheit
Die Tafel gehört zu einem Test (K = krank, T = Test positiv). Welche Rechnung liefert P_T(K), die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person krank ist?
Erklärung: Die Bedingung ist „positiv“, der Grundraum also die Spalte T mit 65 Personen: P_T(K) = 16 : 65 ≈ 0,25. 16 : 20 wäre P_K(T) (positiv unter den Kranken), 16 : 1000 der Schnitt.
Welcher Satz beschreibt P_B(A), wenn A = „krank“ und B = „Test positiv“ ist?
Erklärung: P_B(A) hat die Bedingung B (positiv): Es geht um den Anteil der Kranken unter den Positiven. Der zweite Satz beschreibt P_A(B), der dritte P(A ∩ B) – gleiche Zahl, aber ein anderer Grundraum.
Aus der Tafel liest man P_K(T) = 16 : 20 = 0,8. Also ist auch P_T(K) = 0,8.
Erklärung: Beide Zahlen haben verschiedene Grundräume: P_T(K) = 16 : 65 ≈ 0,25. Von „Test erkennt 80 % der Kranken“ auf „80 % der Positiven sind krank“ zu schließen ist der Umkehrfehler.
Die Spalte T hat 65 Personen, davon sind 16 krank. Wie groß ist P_T(K) in Prozent, auf ganze Prozent gerundet?
Erklärung: P_T(K) = 16 : 65 = 0,246 ≈ 25 %.
Bei einem Test gilt P_A(B) = 0,9 und P(A ∩ B) = 0,009. Wie groß ist P(A)?
Erklärung: P(A ∩ B) = P(A) · P_A(B), also P(A) = 0,009 : 0,9 = 0,01. Die drei Zahlen hängen über die Pfadregel zusammen, sind aber verschieden.
Eine Krankheit trifft 2 % der Bevölkerung, ein Test erkennt 80 % der Kranken. Wie viele von 1000 Personen sind krank und testen positiv?
Erklärung: 2 % von 1000 sind 20 Kranke, davon 80 %: 16. 800 wäre 80 % von allen 1000 (die Basisrate fehlt), 20 sind nur die Kranken.
Bei 1000 Personen, 2 % krank und einer Fehlalarmrate von 5 % bei den Gesunden, testen 5 % von 1000 = 50 Gesunde fälschlich positiv.
Erklärung: Die Fehlalarmrate gilt für die Gesunden: 5 % von 980 = 49. Die 50 nehmen alle 1000 Personen als Grundraum.
Wie viele Gesunde testen positiv, wenn 5 % der Gesunden fälschlich positiv getestet werden?
Erklärung: Die Gesunden sind 980, davon 5 %: 0,05 · 980 = 49.
Von 500 Mails sind 20 % Spam. Der Filter erkennt 95 % des Spams und markiert 2,5 % der guten Mails fälschlich. Wie viele Mails werden insgesamt als Spam markiert?
Erklärung: Spam: 20 % von 500 = 100, davon erkannt 95 % = 95. Gute Mails: 400, davon 2,5 % = 10. Markiert: 95 + 10 = 105.
Von 2000 Personen konsumieren 100 (K). Von ihnen testen 90 positiv (T), von den Nichtkonsumierenden 76. Welche Rechnung liefert P_T(K)?
Erklärung: Alle Positiven zählen: 90 + 76 = 166. P_T(K) = 90 : 166 ≈ 0,54. 90 : 100 = 0,9 ist P_K(T); durch die 76 falsch Positiven allein zu teilen lässt die richtig Positiven aus dem Nenner.
Die Symbole zeigen alle 65 positiv Getesteten eines Tests, violett sind die Kranken. Welcher Anteil der positiv Getesteten ist krank?
Erklärung: 16 von 65 sind krank, das sind etwa 25 %. Die 80 % sind der Anteil der Kranken, den der Test erkennt (P_K(T)); die 2 % sind der Anteil Kranker an allen.
Von 250 positiv Getesteten sind 60 krank. Wie groß ist P_T(K) in Prozent?
Erklärung: P_T(K) = 60 : 250 = 0,24 = 24 %.
Eine Krankheit trifft 2 % der Personen. Der Test erkennt 80 % der Kranken und meldet bei 5 % der Gesunden fälschlich positiv. Wie groß ist P_T(K) in Prozent (auf ganze Prozent gerundet)?
Erklärung: Für 1000 Personen: 20 krank, davon 16 positiv; 980 gesund, davon 49 positiv. Positiv sind 65, also P_T(K) = 16 : 65 ≈ 0,246 ≈ 25 %.
Ein Test erkennt 90 % der Kranken und meldet bei 10 % der Gesunden fälschlich positiv. Wie groß ist P_T(K), wenn 10 % der Personen krank sind?
Erklärung: Bei 1000 Personen: 100 krank, 90 davon positiv; 900 gesund, 90 davon positiv. Unter 180 Positiven sind 90 krank: 0,5. 0,9 ist P_K(T), 0,1 die Basisrate.
Ein Test erkennt 95 % der Kranken und meldet bei 5 % der Gesunden Alarm. Sind 1 % der Personen krank, so sind unter den Positiven mehr Gesunde als Kranke.
Erklärung: Bei 10000 Personen: 100 krank, 95 davon positiv; 9900 gesund, 495 davon positiv. Es gibt 495 falsch Positive gegen 95 richtig Positive.
Bei unverändertem Test wird P_T(K) ___ (größer oder kleiner), wenn die Krankheit häufiger wird.
Erklärung: Mehr Kranke heißt mehr richtig Positive bei gleich vielen Gesunden: Bei 1 % ist P_T(K) ≈ 0,08, bei 10 % schon 0,5.
Ein Test erkennt 90 % der Kranken und meldet bei 10 % der Gesunden fälschlich positiv. 5 % der Personen sind krank. Wie groß ist P_T(K) in Prozent (ganze Prozent)?
Erklärung: Für 1000 Personen: 50 krank, 45 positiv; 950 gesund, 95 positiv. P_T(K) = 45 : 140 ≈ 0,321 ≈ 32 %.
4 % der Personen einer Region sind infiziert. Ein Schnelltest erkennt 75 % der Infizierten und meldet bei 6 % der Nichtinfizierten fälschlich positiv. Zeichne für 10 000 Personen den Häufigkeitsbaum, bestimme die Zahl der positiv Getesteten und berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person infiziert ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Nur die Positiven zählen: 300 richtig und 576 falsch positiv, zusammen 876. Der Anteil der Infizierten darunter ist 300 : 876 ≈ 0,34.
Von 1000 Menschen sind 10 krank. Der Test ist bei 9 der 10 Kranken positiv und bei 99 der 990 Gesunden auch. Wie viele Tests sind positiv?
Auch Gesunde können positiv getestet werden: 9 + 99.
9 + 99 = 108.
Von 1000 Menschen sind 20 krank. Der Test ist bei 18 der 20 Kranken positiv und bei 49 der 980 Gesunden auch. Wie viele Tests sind positiv?
Auch Gesunde können positiv getestet werden: 18 + 49.
18 + 49 = 67.
Von 1000 Menschen sind 10 krank. Positiv sind 9 Kranke und 99 Gesunde. Wie groß ist P_positiv(krank)?
Das ist P_krank(positiv). Gefragt ist: von den Positiven die Kranken.
Unter den 108 Positiven sind 9 krank: 9/108, etwa 8 %.
Von 1000 Menschen sind 20 krank. Positiv sind 18 Kranke und 49 Gesunde. Wie groß ist P_positiv(krank)?
Das ist P_krank(positiv). Gefragt ist: von den Positiven die Kranken.
Unter den 67 Positiven sind 18 krank: 18/67, etwa 27 %.
Von 500 Kindern spielen 200 ein Instrument. Von diesen 200 singen 50 im Chor. Wie viel Prozent der Instrumentspieler singen im Chor?
50 von 500 wäre der Anteil an allen. Gefragt ist der Anteil unter den 200.
50 von 200: 50 : 200 = 0,25, also 25 %.
Von 400 Gästen essen 160 vegetarisch. Von diesen 160 trinken 40 Tee. Wie viel Prozent der Vegetarier trinken Tee?
40 von 400 wäre der Anteil an allen. Gefragt ist der Anteil unter den 160.
40 von 160: 40 : 160 = 0,25, also 25 %.
Ein Test ist bei 99 % der Kranken positiv. Ist man bei positivem Ergebnis dann zu 99 % krank?
Nein: 99 % ist P_krank(positiv). Sind nur wenige krank, sind viele Positive gesund; P_positiv(krank) kann klein sein.
Ein Rauchmelder piept bei 95 % aller Brände. Brennt es dann zu 95 %, wenn er piept?
Nein: 95 % ist P_Brand(Piepen). Wie oft er ohne Brand piept, entscheidet über P_Piepen(Brand).