Test und Krankheit

Test and illness

Mathematik Klasse 11 26 Aufgaben

WahrscheinlichkeitBedingte WahrscheinlichkeitBayes

P_A(B), P_B(A) und P(A ∩ B) zählen dieselben Personen und sind doch drei verschiedene Zahlen, weil ihr Grundraum verschieden ist. Am Schnelltest zeigt sich das: Ein Test, der 90 % der Kranken erkennt, macht einen positiv Getesteten bei seltener Krankheit noch lange nicht zu 90 % krank. Mit natürlichen Häufigkeiten (Gigerenzer & Hoffrage 1995) und dem umgekehrten Baum wird die Umkehrung rechenbar; die Basisrate erklärt den Effekt (Kahneman & Tversky 1972). Räumt den Umkehrfehler (Falk 1986) aus und bereitet die Fragestellung in Umfragen und Jgst. 12 (Fehler beim Testen) vor.

Drei verschiedene Zahlen

Zurück zum Schnelltest vom Anfang. Von 1000 Personen sind 10 krank (A). Bei 9 von ihnen ist der Test positiv (B), bei 99 der 990 Gesunden ebenfalls. Die Tafel zeigt zu denselben 9 Personen drei Zahlen: $P_{A} (B) = \frac{9}{10} = 0, 9$ (positiv unter den Kranken, Zeile A), $P_{B} (A) = \frac{9}{108} \approx 0, 083$ (krank unter den Positiven, Spalte B) und $P (A \cap B) = \frac{9}{1000} = 0, 009$ . Nur der Grundraum ist verschieden. Wer $P_{A} (B)$ für $P_{B} (A)$ hält, macht den Umkehrfehler.

Tippe auf die Zeile A und dann auf die Spalte B. Durch welche Summe teilst du jeweils die 9?

Der Test in 1000 Personen

Mit Prozenten ist das im Kopf schwer, mit Personen leicht: 1 % von 1000 sind 10 Kranke, davon 90 % = 9 positiv. Von den 990 Gesunden testen 10 %, also 99, fälschlich positiv. Solche Zahlen heißen natürliche Häufigkeiten. Positiv sind 9 + 99 = 108 Personen, aber nur 9 sind krank. Zeichnet man den Baum mit dem Test als erster Stufe, wird $P_{B} (A)$ ein Ast: $P_{B} (A) = \frac{9}{108} = \frac{1}{12} \approx 8 %$ .

Oben Krankheit zuerst, unten Test zuerst: dieselben 1000 Personen, dieselben Zahlen an den Knoten. Violett: krank und positiv.

Die Basisrate

Weshalb so wenig? Weil nur 1 % krank ist: Unter den vielen Gesunden erzeugen schon 10 % Fehlalarm 99 Positive gegen nur 9 echte. Wer diese Basisrate vergisst, hält die Erkennungsquote von 90 % für die Antwort. Schiebe die Basisrate nach oben und beobachte $P_{B} (A)$ .

Die violette Fläche ist „krank und positiv“, die blaue „gesund, aber positiv“. Ab welcher Basisrate ist mehr als die Hälfte der Positiven krank?

Voraussetzungen (1)

Die Vierfeldertafel

Klasse 11

›

Ermöglicht (1)

Stichprobe und Erhebung

Klasse 11

›

Leicht

Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

Die Tafel gehört zu einem Test (K = krank, T = Test positiv). Welche Rechnung liefert P_T(K), die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person krank ist?

● 16 : 65
○ 16 : 20
○ 16 : 1000

Die Bedingung ist „positiv“, der Grundraum also die Spalte T mit 65 Personen: P_T(K) = 16 : 65 ≈ 0,25. 16 : 20 wäre P_K(T) (positiv unter den Kranken), 16 : 1000 der Schnitt.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welcher Satz beschreibt P_B(A), wenn A = „krank“ und B = „Test positiv“ ist?

● Von den positiv Getesteten sind 25 % krank.
○ Von den Kranken werden 25 % positiv getestet.
○ 25 % der Personen sind krank und positiv.

P_B(A) hat die Bedingung B (positiv): Es geht um den Anteil der Kranken unter den Positiven. Der zweite Satz beschreibt P_A(B), der dritte P(A ∩ B) – gleiche Zahl, aber ein anderer Grundraum.

Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Aus der Tafel liest man P_K(T) = 16 : 20 = 0,8. Also ist auch P_T(K) = 0,8.

✓ Falsch

Beide Zahlen haben verschiedene Grundräume: P_T(K) = 16 : 65 ≈ 0,25. Von „Test erkennt 80 % der Kranken“ auf „80 % der Positiven sind krank“ zu schließen ist der Umkehrfehler.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Eine Krankheit trifft 2 % der Bevölkerung, ein Test erkennt 80 % der Kranken. Wie viele von 1000 Personen sind krank und testen positiv?

● 16
○ 800
○ 20

2 % von 1000 sind 20 Kranke, davon 80 %: 16. 800 wäre 80 % von allen 1000 (die Basisrate fehlt), 20 sind nur die Kranken.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Bei 1000 Personen, 2 % krank und einer Fehlalarmrate von 5 % bei den Gesunden, testen 5 % von 1000 = 50 Gesunde fälschlich positiv.

✓ Falsch

Die Fehlalarmrate gilt für die Gesunden: 5 % von 980 = 49. Die 50 nehmen alle 1000 Personen als Grundraum.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Von 2000 Personen konsumieren 100 (K). Von ihnen testen 90 positiv (T), von den Nichtkonsumierenden 76. Welche Rechnung liefert P_T(K)?

● 90 : 166
○ 90 : 100
○ 90 : 76

Alle Positiven zählen: 90 + 76 = 166. P_T(K) = 90 : 166 ≈ 0,54. 90 : 100 = 0,9 ist P_K(T); durch die 76 falsch Positiven allein zu teilen lässt die richtig Positiven aus dem Nenner.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Die Symbole zeigen alle 65 positiv Getesteten eines Tests, violett sind die Kranken. Welcher Anteil der positiv Getesteten ist krank?

● etwa 25 %
○ etwa 80 %
○ etwa 2 %

16 von 65 sind krank, das sind etwa 25 %. Die 80 % sind der Anteil der Kranken, den der Test erkennt (P_K(T)); die 2 % sind der Anteil Kranker an allen.

Multiple Choice #8 40s ▶ Testen

Ein Test erkennt 90 % der Kranken und meldet bei 10 % der Gesunden fälschlich positiv. Wie groß ist P_T(K), wenn 10 % der Personen krank sind?

● 0,5
○ 0,9
○ 0,1

Bei 1000 Personen: 100 krank, 90 davon positiv; 900 gesund, 90 davon positiv. Unter 180 Positiven sind 90 krank: 0,5. 0,9 ist P_K(T), 0,1 die Basisrate.

Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Ein Test erkennt 95 % der Kranken und meldet bei 5 % der Gesunden Alarm. Sind 1 % der Personen krank, so sind unter den Positiven mehr Gesunde als Kranke.

✓ Wahr

Bei 10000 Personen: 100 krank, 95 davon positiv; 9900 gesund, 495 davon positiv. Es gibt 495 falsch Positive gegen 95 richtig Positive.

Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Ein Test ist bei 99 % der Kranken positiv. Ist man bei positivem Ergebnis dann zu 99 % krank?

✓ Nein

Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Ein Rauchmelder piept bei 95 % aller Brände. Brennt es dann zu 95 %, wenn er piept?

✓ Nein

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Spalte T hat 65 Personen, davon sind 16 krank. Wie groß ist P_T(K) in Prozent, auf ganze Prozent gerundet?

✓ Antwort: 25

P_T(K) = 16 : 65 = 0,246 ≈ 25 %.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele Gesunde testen positiv, wenn 5 % der Gesunden fälschlich positiv getestet werden?

✓ Antwort: 49

Die Gesunden sind 980, davon 5 %: 0,05 · 980 = 49.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Von 250 positiv Getesteten sind 60 krank. Wie groß ist P_T(K) in Prozent?

✓ Antwort: 24

P_T(K) = 60 : 250 = 0,24 = 24 %.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Bei unverändertem Test wird P_T(K) ___ (größer oder kleiner), wenn die Krankheit häufiger wird.

✓ Antwort: größer

Mehr Kranke heißt mehr richtig Positive bei gleich vielen Gesunden: Bei 1 % ist P_T(K) ≈ 0,08, bei 10 % schon 0,5.

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Von 1000 Menschen sind 10 krank. Der Test ist bei 9 der 10 Kranken positiv und bei 99 der 990 Gesunden auch. Wie viele Tests sind positiv?

✓ Antwort: 108

Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

Von 1000 Menschen sind 20 krank. Der Test ist bei 18 der 20 Kranken positiv und bei 49 der 980 Gesunden auch. Wie viele Tests sind positiv?

✓ Antwort: 67

Bruch eingeben #7 50s ▶ Testen

Von 1000 Menschen sind 10 krank. Positiv sind 9 Kranke und 99 Gesunde. Wie groß ist P_positiv(krank)?

✓ Antwort: 9/108

Bruch eingeben #8 50s ▶ Testen

Von 1000 Menschen sind 20 krank. Positiv sind 18 Kranke und 49 Gesunde. Wie groß ist P_positiv(krank)?

✓ Antwort: 18/67

Zahleneingabe #9 50s ▶ Testen

Von 500 Kindern spielen 200 ein Instrument. Von diesen 200 singen 50 im Chor. Wie viel Prozent der Instrumentspieler singen im Chor?

✓ Antwort: 25

Zahleneingabe #10 50s ▶ Testen

Von 400 Gästen essen 160 vegetarisch. Von diesen 160 trinken 40 Tee. Wie viel Prozent der Vegetarier trinken Tee?

✓ Antwort: 25

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Bei einem Test gilt P_A(B) = 0,9 und P(A ∩ B) = 0,009. Wie groß ist P(A)?

✓ Antwort: 0.01

P(A ∩ B) = P(A) · P_A(B), also P(A) = 0,009 : 0,9 = 0,01. Die drei Zahlen hängen über die Pfadregel zusammen, sind aber verschieden.

Zahleneingabe #2 50s ▶ Testen

Von 500 Mails sind 20 % Spam. Der Filter erkennt 95 % des Spams und markiert 2,5 % der guten Mails fälschlich. Wie viele Mails werden insgesamt als Spam markiert?

✓ Antwort: 105

Spam: 20 % von 500 = 100, davon erkannt 95 % = 95. Gute Mails: 400, davon 2,5 % = 10. Markiert: 95 + 10 = 105.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Eine Krankheit trifft 2 % der Personen. Der Test erkennt 80 % der Kranken und meldet bei 5 % der Gesunden fälschlich positiv. Wie groß ist P_T(K) in Prozent (auf ganze Prozent gerundet)?

✓ Antwort: 25

Für 1000 Personen: 20 krank, davon 16 positiv; 980 gesund, davon 49 positiv. Positiv sind 65, also P_T(K) = 16 : 65 ≈ 0,246 ≈ 25 %.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Ein Test erkennt 90 % der Kranken und meldet bei 10 % der Gesunden fälschlich positiv. 5 % der Personen sind krank. Wie groß ist P_T(K) in Prozent (ganze Prozent)?

✓ Antwort: 32

Für 1000 Personen: 50 krank, 45 positiv; 950 gesund, 95 positiv. P_T(K) = 45 : 140 ≈ 0,321 ≈ 32 %.

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

4 % der Personen einer Region sind infiziert. Ein Schnelltest erkennt 75 % der Infizierten und meldet bei 6 % der Nichtinfizierten fälschlich positiv. Zeichne für 10 000 Personen den Häufigkeitsbaum, bestimme die Zahl der positiv Getesteten und berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person infiziert ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Baum für 10 000: infiziert 400 (positiv 300, negativ 100), nicht infiziert 9600 (positiv 576, negativ 9024). Positiv insgesamt 300 + 576 = 876. P_T(I) = 300 : 876 ≈ 0,342 ≈ 34 %.

Nur die Positiven zählen: 300 richtig und 576 falsch positiv, zusammen 876. Der Anteil der Infizierten darunter ist 300 : 876 ≈ 0,34.