Stochastische Unabhängigkeit
Ein Würfel wird zweimal geworfen. A: erster Wurf gerade, B: zweiter Wurf gerade. Welchen Wert hat P_A(B)?
Erklärung: Der erste Wurf ändert den zweiten nicht: P_A(B) = P(B) = 3 : 6 = 0,5. 0,25 ist der Schnitt P(A ∩ B) = 0,5 · 0,5, 0,75 ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu.
Es gilt P(B) = 0,3 und P_A(B) = 0,3. Also sind A und B unabhängig.
Erklärung: Das Wissen über A ändert die Wahrscheinlichkeit von B nicht (P_A(B) = P(B)): Das ist genau Unabhängigkeit.
Im Quadrat sind die B-Anteile in den beiden Spalten verschieden hoch. Also sind A und B unabhängig.
Erklärung: Unabhängig hieße P_A(B) = P_Ā(B): In beiden Spalten wäre der B-Anteil gleich hoch. Hier ist er links 80 %, rechts nur 40 % – A verändert die Wahrscheinlichkeit von B.
A und B sind unabhängig, und es gilt P(B) = 0,35. Wie groß ist P_A(B)?
Erklärung: Bei Unabhängigkeit ist P_A(B) = P(B) = 0,35.
30 % der Befragten sind unter 30 Jahre alt (A). Von allen Befragten nutzen 60 % ein Streamingportal (B). Sind A und B unabhängig, wie viel Prozent der Über-30-Jährigen (Ā) nutzen es?
Erklärung: Bei Unabhängigkeit gilt P_Ā(B) = P_A(B) = P(B) = 60 %. Die 30 % (Anteil von A) spielen für diese Zahl keine Rolle.
A: erste gezogene Kugel rot, B: zweite gezogene Kugel rot. Bei welchem Ziehen sind A und B unabhängig?
Erklärung: Nur mit Zurücklegen ist die Urne vor der zweiten Ziehung wieder wie vorher. Ohne Zurücklegen und beim gleichzeitigen Ziehen fehlt die erste Kugel – die Wahrscheinlichkeit der zweiten hängt vom ersten Ergebnis ab.
Eine Münze zeigte fünfmal hintereinander Zahl. Beim sechsten Wurf ist Kopf deshalb wahrscheinlicher als Zahl.
Erklärung: Die Würfe sind unabhängig: P_A(B) = P(B) = 0,5. Die Münze hat kein Gedächtnis, ein „Ausgleich“ findet nicht statt.
In der Urne liegen 5 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. A: erste Kugel rot, B: zweite Kugel rot. Wie groß ist P_A(B)?
Erklärung: Nach einer roten Kugel liegen noch 4 rote unter 10 Kugeln in der Urne: P_A(B) = 0,4. Ohne Bedingung wäre P(B) = 5/11 ≈ 0,45 – die Ereignisse sind abhängig.
In der Urne liegen 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?
Erklärung: Mit Zurücklegen sind die Ziehungen unabhängig: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0,3 · 0,3 = 0,09.
Es gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,2. Wie fällt die Produktprobe aus?
Erklärung: Die Produktprobe lautet P(A) · P(B) = 0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B): unabhängig. Die Summe ist keine Probe, und dass der Schnitt kleiner als P(B) ist, gilt immer.
Nach der Produktprobe sind A und B in dieser Tafel abhängig.
Erklärung: P(A) = 40 : 200 = 0,2, P(B) = 30 : 200 = 0,15, P(A) · P(B) = 0,03, aber P(A ∩ B) = 10 : 200 = 0,05. Die Werte sind verschieden.
A und B sind unabhängig, P(A) = 0,3 und P(B) = 0,6. Wie groß ist P(A ∩ B)?
Erklärung: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0,3 · 0,6 = 0,18.
A und B sind unabhängig. Es gilt P(A) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,12. Wie groß ist P(B)?
Erklärung: P(A ∩ B) = P(A) · P(B), also P(B) = 0,12 : 0,4 = 0,3.
Wie verhalten sich A und B im Baum?
Erklärung: Unabhängigkeit heißt P_A(B) = P_Ā(B): Beide B-Äste der zweiten Stufe tragen 0,4. Dass die Äste der ersten Stufe (0,3 und 0,7) verschieden sind, sagt nichts über die Unabhängigkeit.
Die vier Felder der Tafel enthalten nicht gleich viele Personen. Trotzdem sind A und B unabhängig.
Erklärung: Beide Zeilen haben denselben Anteil B: 10 : 40 = 30 : 120 = 0,25. Gleiche Feldzahlen sind nicht nötig, nur gleiche Anteile.
A und B sind unabhängig, und im Baum ist P_A(B) = 0,35. Welche Zahl trägt der B-Ast nach Ā?
Erklärung: Bei Unabhängigkeit sind beide B-Äste gleich: P_Ā(B) = P_A(B) = 0,35.
Wie viele Personen der Zeile A müssen im Feld A ∩ B stehen, damit A und B unabhängig sind?
Erklärung: Ā hat den Anteil B von 30 : 120 = 0,25. Bei Unabhängigkeit muss die Zeile A ihn auch haben: 0,25 · 40 = 10.
Von 240 Schüler:innen tragen 60 eine Brille (A) und 48 spielen im Schulorchester (B). 12 Personen tragen eine Brille und spielen im Orchester. Untersuche mit der Produktprobe, ob A und B stochastisch unabhängig sind, und bestätige das Ergebnis mit den Anteilen P_A(B) und P_Ā(B).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Produktprobe: P(A) · P(B) = 0,25 · 0,2 = 0,05 = P(A ∩ B). Auch die Anteile stimmen: 0,2 in beiden Gruppen.