Stochastische Unabhängigkeit

Stochastic independence

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben

WahrscheinlichkeitUnabhängigkeitBaumdiagramme

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Wissen über A die Wahrscheinlichkeit von B nicht ändert: P_A(B) = P(B), gleichwertig P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Wiederholte Münzwürfe und Ziehen mit Zurücklegen sind unabhängig, Ziehen ohne Zurücklegen nicht. Am Baum zeigen gleiche Äste an beiden Knoten die Unabhängigkeit, an der Tafel gleiche Anteile in beiden Zeilen. Räumt aus, Summe statt Produkt zu prüfen, gleiche Feldzahlen zu verlangen oder der Münze ein Gedächtnis zu geben. Bereitet die Abgrenzung zu unvereinbar und in Jgst. 12 Bernoulli-Ketten vor.

Nichts ändert sich

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Wissen, dass A eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeit von B nicht ändert: $P_{A} (B) = P (B)$ . Ein Würfel wird zweimal geworfen, A ist „erster Wurf gerade“, B ist „zweiter Wurf eine 6“: Der erste Wurf sagt nichts über den zweiten, $P_{A} (B) = \frac{1}{6} = P (B)$ .

Anders beim Ziehen ohne Zurücklegen: In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. A: erste Kugel rot, B: zweite Kugel rot. Es ist $P (B) = \frac{3}{5}$ , aber nach A fehlt eine rote Kugel, $P_{A} (B) = \frac{2}{4}$ . Mit Zurücklegen bliebe es bei $\frac{3}{5}$ . Im Quadrat heißt unabhängig: Der B-Anteil ist in beiden Spalten gleich hoch.

Ändere P_Ā(B). Bei welchen Werten ist P_A(B) = P(B)? Vergleiche die Chips P(A ∩ B) und P(A) · P(B).

Die Produktprobe

Aus $P (A \cap B) = P (A) \cdot P_{A} (B)$ und $P_{A} (B) = P (B)$ folgt $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ Das gilt auch umgekehrt und ist die Probe: 200 Personen, A „trägt Brille“ (40), B „ist Linkshänder“ (30), im Feld A ∩ B stehen 6. Es ist $0, 2 \cdot 0, 15 = 0, 03 = \frac{6}{200}$ , also sind A und B unabhängig. Man multipliziert, addiert wird nicht.

Multipliziere P(A) und P(B) aus dem Kasten und vergleiche mit P(A ∩ B).

Am Baum erkennen

Im Baum sieht man Unabhängigkeit an den Ästen: Beide B-Äste tragen dieselbe Zahl, $P_{A} (B) = P_{\overline{A}} (B)$ . In der Tafel haben beide Zeilen denselben Anteil B, hier 6 : 40 = 24 : 160 = 0,15. Gleiche Zahlen in den Feldern braucht es dafür nicht. Verschiedene Äste wie bei der Vorbereitungsstunde (0,9 und 0,2) zeigen Abhängigkeit.

Beide B-Äste tragen 0,15: A und B sind unabhängig, obwohl die Äste der ersten Stufe (0,2 und 0,8) verschieden sind.

Voraussetzungen (1)

Die Vierfeldertafel

Klasse 11

›

Ermöglicht (2)

Teilmengen und Kausalität

Klasse 11

›

Unvereinbar oder unabhängig

Klasse 11

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Würfel wird zweimal geworfen. A: erster Wurf gerade, B: zweiter Wurf gerade. Welchen Wert hat P_A(B)?

● 0,5
○ 0,25
○ 0,75

Der erste Wurf ändert den zweiten nicht: P_A(B) = P(B) = 3 : 6 = 0,5. 0,25 ist der Schnitt P(A ∩ B) = 0,5 · 0,5, 0,75 ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Es gilt P(B) = 0,3 und P_A(B) = 0,3. Also sind A und B unabhängig.

✓ Wahr

Das Wissen über A ändert die Wahrscheinlichkeit von B nicht (P_A(B) = P(B)): Das ist genau Unabhängigkeit.

Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Im Quadrat sind die B-Anteile in den beiden Spalten verschieden hoch. Also sind A und B unabhängig.

✓ Falsch

Unabhängig hieße P_A(B) = P_Ā(B): In beiden Spalten wäre der B-Anteil gleich hoch. Hier ist er links 80 %, rechts nur 40 % – A verändert die Wahrscheinlichkeit von B.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

A: erste gezogene Kugel rot, B: zweite gezogene Kugel rot. Bei welchem Ziehen sind A und B unabhängig?

● zweimal ziehen mit Zurücklegen
○ zweimal ziehen ohne Zurücklegen
○ zwei Kugeln gleichzeitig ziehen

Nur mit Zurücklegen ist die Urne vor der zweiten Ziehung wieder wie vorher. Ohne Zurücklegen und beim gleichzeitigen Ziehen fehlt die erste Kugel – die Wahrscheinlichkeit der zweiten hängt vom ersten Ergebnis ab.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Eine Münze zeigte fünfmal hintereinander Zahl. Beim sechsten Wurf ist Kopf deshalb wahrscheinlicher als Zahl.

✓ Falsch

Die Würfe sind unabhängig: P_A(B) = P(B) = 0,5. Die Münze hat kein Gedächtnis, ein „Ausgleich“ findet nicht statt.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Es gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,2. Wie fällt die Produktprobe aus?

● A und B sind unabhängig, denn 0,5 · 0,4 = 0,2.
○ A und B sind abhängig, denn 0,5 + 0,4 ≠ 0,2.
○ A und B sind abhängig, denn 0,2 < 0,4.

Die Produktprobe lautet P(A) · P(B) = 0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B): unabhängig. Die Summe ist keine Probe, und dass der Schnitt kleiner als P(B) ist, gilt immer.

Wahr / Falsch #7 40s ▶ Testen

Nach der Produktprobe sind A und B in dieser Tafel abhängig.

✓ Wahr

P(A) = 40 : 200 = 0,2, P(B) = 30 : 200 = 0,15, P(A) · P(B) = 0,03, aber P(A ∩ B) = 10 : 200 = 0,05. Die Werte sind verschieden.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Wie verhalten sich A und B im Baum?

● A und B sind unabhängig, denn beide B-Äste tragen 0,4.
○ A und B sind abhängig, denn 0,3 ≠ 0,4.
○ A und B sind abhängig, denn die A-Äste (0,3 und 0,7) sind verschieden.

Unabhängigkeit heißt P_A(B) = P_Ā(B): Beide B-Äste der zweiten Stufe tragen 0,4. Dass die Äste der ersten Stufe (0,3 und 0,7) verschieden sind, sagt nichts über die Unabhängigkeit.

Wahr / Falsch #9 30s ▶ Testen

Die vier Felder der Tafel enthalten nicht gleich viele Personen. Trotzdem sind A und B unabhängig.

✓ Wahr

Beide Zeilen haben denselben Anteil B: 10 : 40 = 30 : 120 = 0,25. Gleiche Feldzahlen sind nicht nötig, nur gleiche Anteile.

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

A und B sind unabhängig, und es gilt P(B) = 0,35. Wie groß ist P_A(B)?

✓ Antwort: 0.35

Bei Unabhängigkeit ist P_A(B) = P(B) = 0,35.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

In der Urne liegen 5 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. A: erste Kugel rot, B: zweite Kugel rot. Wie groß ist P_A(B)?

✓ Antwort: 0.4

Nach einer roten Kugel liegen noch 4 rote unter 10 Kugeln in der Urne: P_A(B) = 0,4. Ohne Bedingung wäre P(B) = 5/11 ≈ 0,45 – die Ereignisse sind abhängig.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

A und B sind unabhängig, P(A) = 0,3 und P(B) = 0,6. Wie groß ist P(A ∩ B)?

✓ Antwort: 0.18

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0,3 · 0,6 = 0,18.

Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

A und B sind unabhängig, und im Baum ist P_A(B) = 0,35. Welche Zahl trägt der B-Ast nach Ā?

✓ Antwort: 0.35

Bei Unabhängigkeit sind beide B-Äste gleich: P_Ā(B) = P_A(B) = 0,35.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

30 % der Befragten sind unter 30 Jahre alt (A). Von allen Befragten nutzen 60 % ein Streamingportal (B). Sind A und B unabhängig, wie viel Prozent der Über-30-Jährigen (Ā) nutzen es?

✓ Antwort: 60

Bei Unabhängigkeit gilt P_Ā(B) = P_A(B) = P(B) = 60 %. Die 30 % (Anteil von A) spielen für diese Zahl keine Rolle.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

In der Urne liegen 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?

✓ Antwort: 0.09

Mit Zurücklegen sind die Ziehungen unabhängig: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0,3 · 0,3 = 0,09.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

A und B sind unabhängig. Es gilt P(A) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,12. Wie groß ist P(B)?

✓ Antwort: 0.3

P(A ∩ B) = P(A) · P(B), also P(B) = 0,12 : 0,4 = 0,3.

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Wie viele Personen der Zeile A müssen im Feld A ∩ B stehen, damit A und B unabhängig sind?

✓ Antwort: 10

Ā hat den Anteil B von 30 : 120 = 0,25. Bei Unabhängigkeit muss die Zeile A ihn auch haben: 0,25 · 40 = 10.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Von 240 Schüler:innen tragen 60 eine Brille (A) und 48 spielen im Schulorchester (B). 12 Personen tragen eine Brille und spielen im Orchester. Untersuche mit der Produktprobe, ob A und B stochastisch unabhängig sind, und bestätige das Ergebnis mit den Anteilen P_A(B) und P_Ā(B). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: P(A) = 60 : 240 = 0,25; P(B) = 48 : 240 = 0,2; P(A ∩ B) = 12 : 240 = 0,05. P(A) · P(B) = 0,05 = P(A ∩ B): unabhängig. Kontrolle: P_A(B) = 12 : 60 = 0,2, P_Ā(B) = (48 − 12) : 180 = 0,2 – gleich.

Produktprobe: P(A) · P(B) = 0,25 · 0,2 = 0,05 = P(A ∩ B). Auch die Anteile stimmen: 0,2 in beiden Gruppen.