Unvereinbar oder unabhängig
Ein Würfel wird einmal geworfen. Welches Paar von Ereignissen ist unvereinbar?
Erklärung: Gerade Zahlen sind 2, 4, 6, und die 5 ist keine davon: A ∩ B = { }. Bei „gerade“ und „durch 3 teilbar“ erfüllt die 6 beides, bei „größer als 2“ und „kleiner als 5“ die 3 und die 4.
Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. A: Herz, B: Pik. A und B sind unvereinbar.
Erklärung: Keine Karte hat zwei Farben zugleich: A ∩ B = { }.
Die Kreise zeigen zwei Ereignisse A und B in einer Gruppe von Personen. A und B sind unvereinbar.
Erklärung: Unvereinbar hieße: Die Kreise haben nichts gemeinsam. Hier ist A ∩ B nicht leer (2 Personen), also sind A und B vereinbar.
A und B sind unvereinbar mit P(A) = 0,3 und P(B) = 0,5. Wie groß ist P(A ∩ B)?
Erklärung: Unvereinbar heißt A ∩ B = { }, also P(A ∩ B) = 0 – unabhängig von P(A) und P(B).
A und B sind unvereinbar mit P(A) = 0,3 und P(B) = 0,5. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Erklärung: Ohne Überschneidung wird nichts doppelt gezählt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8.
A und B sind unvereinbar mit P(A) = 0,4 und P(B) = 0,3. Wie verhalten sich A und B zueinander?
Erklärung: Produktprobe: P(A) · P(B) = 0,12, aber P(A ∩ B) = 0. Nach A ist B ausgeschlossen (P_A(B) = 0 ≠0,3) – das ist Abhängigkeit, nicht Unabhängigkeit.
Beim Würfelwurf gilt für A: „gerade“ und B: „ungerade“ P_A(B) = 0. Deshalb sind A und B unabhängig.
Erklärung: Unabhängig wäre P_A(B) = P(B) = 0,5. Mit P_A(B) = 0 verändert das Wissen über A die Wahrscheinlichkeit von B am stärksten möglich.
A und B sind unvereinbar, P(A) = 0,4 und P(B) = 0,3. Wie groß ist P_A(B)?
Erklärung: Ist A eingetreten, kann B nicht mehr eintreten: P_A(B) = 0. Zum Vergleich P(B) = 0,3 – deshalb abhängig.
Ein Würfel wird einmal geworfen. A: 1 oder 2, B: 5 oder 6. Wie groß ist P(A) · P(B) − P(A ∩ B)?
Erklärung: P(A) · P(B) = 1/3 · 1/3 = 0,111, P(A ∩ B) = 0. Die Differenz ist nicht 0, also sind A und B abhängig.
A und B sind unabhängig. Wie verhalten sich A und B̄ im Baum?
Erklärung: Bei Unabhängigkeit tragen die B-Äste dieselbe Zahl, also auch die B̄-Äste (1 − 0,4 = 0,6 an beiden Knoten): P_A(B̄) = P_Ā(B̄). Das Gegenereignis macht nicht abhängig.
A und B sind unabhängig mit P(A) = 0,5 und P(B) = 0,4. Dann gilt P(A ∩ B̄) = 0,5 · 0,6 = 0,3.
Erklärung: Auch A und B̄ sind unabhängig, und P(B̄) = 1 − 0,4 = 0,6: P(A ∩ B̄) = 0,5 · 0,6 = 0,3.
A und B sind unabhängig mit P(A) = 0,2 und P(B) = 0,6. Wie groß ist P(A ∩ B̄)?
Erklärung: P(B̄) = 0,4 und A, B̄ sind unabhängig: P(A ∩ B̄) = 0,2 · 0,4 = 0,08.
A und B sind unabhängig mit P(B̄) = 0,6 und P(A ∩ B̄) = 0,24. Wie groß ist P(A)?
Erklärung: A und B̄ sind unabhängig: P(A ∩ B̄) = P(A) · P(B̄), also P(A) = 0,24 : 0,6 = 0,4.
Ein Würfel wird einmal geworfen. A: Augenzahl höchstens 2, B: Augenzahl gerade, C: Augenzahl mindestens 5. Untersuche für die Paare A, B und A, C, ob die Ereignisse unvereinbar und ob sie stochastisch unabhängig sind. Begründe mit den Wahrscheinlichkeiten.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei verschiedene Eigenschaften: Unvereinbar prüft man an den Ergebnissen (Schnitt leer?), Unabhängigkeit an den Wahrscheinlichkeiten (Produktprobe). Das Paar A, B ist unabhängig, aber nicht unvereinbar; das Paar A, C unvereinbar, aber abhängig.