Unvereinbar oder unabhängig

Mutually exclusive or independent

Mathematik Klasse 11 14 Aufgaben

WahrscheinlichkeitUnabhängigkeit

Unvereinbar heißt, dass A und B nie zugleich eintreten (A ∩ B = { }); unabhängig heißt, dass A die Wahrscheinlichkeit von B nicht ändert. Das sind verschiedene, ja fast entgegengesetzte Eigenschaften: Sind A und B unvereinbar und beide möglich, weiß man nach A sicher, dass B nicht eintritt – P(A ∩ B) = 0 ist kleiner als P(A) · P(B), also abhängig. Umgekehrt überlappen unabhängige Ereignisse. Räumt die häufigste Verwechslung der Unabhängigkeit aus (Kütting & Sauer 2011); ergänzt, dass mit A und B auch A und B̄ unabhängig sind.

Zwei Ereignisse heißen unvereinbar, wenn sie nie zugleich eintreten: $A \cap B = {}$ . Das klingt nach „haben nichts miteinander zu tun“, ist aber etwas ganz anderes als unabhängig. Beim Würfel sind „gerade“ und „ungerade“ unvereinbar; ist A eingetreten, weiß man sicher, dass B nicht eintritt: $P_{A} (B) = 0 \neq = P (B) = 0, 5$ . Das ist starke Abhängigkeit.

Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. „Herz“ und „Pik“ sind unvereinbar, „Herz“ und „Bube“ nicht, denn der Herzbube erfüllt beides.

Allgemein gilt: Sind A und B unvereinbar und haben beide positive Wahrscheinlichkeit, so ist $P (A \cap B) = 0 < P (A) \cdot P (B)$ , die Produktprobe scheitert – abhängig. Unabhängige Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit überschneiden sich dagegen immer. Herz (1/4) und Bube (1/8) etwa sind unabhängig: P(Herz ∩ Bube) = 1/32 = 1/4 · 1/8.

Schiebe die Überschneidung. Bei 0 sind A und B unvereinbar. Bei welchem Wert gilt P(A ∩ B) = P(A) · P(B)?

Eine Folgerung: Sind A und B unabhängig, dann auch A und B̄, denn $P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A) \cdot P (B) = P (A) \cdot P (\overline{B})$ .

Voraussetzungen (1)

Stochastische Unabhängigkeit

Klasse 11

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Ein Würfel wird einmal geworfen. Welches Paar von Ereignissen ist unvereinbar?

● A: Augenzahl gerade, B: Augenzahl 5
○ A: Augenzahl gerade, B: Augenzahl durch 3 teilbar
○ A: Augenzahl größer als 2, B: Augenzahl kleiner als 5

Gerade Zahlen sind 2, 4, 6, und die 5 ist keine davon: A ∩ B = { }. Bei „gerade“ und „durch 3 teilbar“ erfüllt die 6 beides, bei „größer als 2“ und „kleiner als 5“ die 3 und die 4.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. A: Herz, B: Pik. A und B sind unvereinbar.

✓ Wahr

Keine Karte hat zwei Farben zugleich: A ∩ B = { }.

Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Die Kreise zeigen zwei Ereignisse A und B in einer Gruppe von Personen. A und B sind unvereinbar.

✓ Falsch

Unvereinbar hieße: Die Kreise haben nichts gemeinsam. Hier ist A ∩ B nicht leer (2 Personen), also sind A und B vereinbar.

Multiple Choice #4 35s ▶ Testen

A und B sind unvereinbar mit P(A) = 0,4 und P(B) = 0,3. Wie verhalten sich A und B zueinander?

● A und B sind abhängig, denn P(A ∩ B) = 0 ist nicht 0,4 · 0,3 = 0,12.
○ A und B sind unabhängig, denn sie haben keine gemeinsamen Ergebnisse.
○ A und B sind unabhängig, denn P(A ∩ B) = 0 hängt nicht von P(A) ab.

Produktprobe: P(A) · P(B) = 0,12, aber P(A ∩ B) = 0. Nach A ist B ausgeschlossen (P_A(B) = 0 ≠ 0,3) – das ist Abhängigkeit, nicht Unabhängigkeit.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Beim Würfelwurf gilt für A: „gerade“ und B: „ungerade“ P_A(B) = 0. Deshalb sind A und B unabhängig.

✓ Falsch

Unabhängig wäre P_A(B) = P(B) = 0,5. Mit P_A(B) = 0 verändert das Wissen über A die Wahrscheinlichkeit von B am stärksten möglich.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

A und B sind unabhängig. Wie verhalten sich A und B̄ im Baum?

● A und B̄ sind unabhängig, denn beide B̄-Äste tragen 0,6.
○ A und B̄ sind abhängig, denn 0,4 + 0,6 = 1.
○ A und B̄ sind abhängig, denn B̄ das Gegenereignis von B ist.

Bei Unabhängigkeit tragen die B-Äste dieselbe Zahl, also auch die B̄-Äste (1 − 0,4 = 0,6 an beiden Knoten): P_A(B̄) = P_Ā(B̄). Das Gegenereignis macht nicht abhängig.

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

A und B sind unabhängig mit P(A) = 0,5 und P(B) = 0,4. Dann gilt P(A ∩ B̄) = 0,5 · 0,6 = 0,3.

✓ Wahr

Auch A und B̄ sind unabhängig, und P(B̄) = 1 − 0,4 = 0,6: P(A ∩ B̄) = 0,5 · 0,6 = 0,3.

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

A und B sind unvereinbar mit P(A) = 0,3 und P(B) = 0,5. Wie groß ist P(A ∩ B)?

✓ Antwort: 0

Unvereinbar heißt A ∩ B = { }, also P(A ∩ B) = 0 – unabhängig von P(A) und P(B).

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

A und B sind unvereinbar, P(A) = 0,4 und P(B) = 0,3. Wie groß ist P_A(B)?

✓ Antwort: 0

Ist A eingetreten, kann B nicht mehr eintreten: P_A(B) = 0. Zum Vergleich P(B) = 0,3 – deshalb abhängig.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

A und B sind unabhängig mit P(A) = 0,2 und P(B) = 0,6. Wie groß ist P(A ∩ B̄)?

✓ Antwort: 0.08

P(B̄) = 0,4 und A, B̄ sind unabhängig: P(A ∩ B̄) = 0,2 · 0,4 = 0,08.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

A und B sind unvereinbar mit P(A) = 0,3 und P(B) = 0,5. Wie groß ist P(A ∪ B)?

✓ Antwort: 0.8

Ohne Überschneidung wird nichts doppelt gezählt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Ein Würfel wird einmal geworfen. A: 1 oder 2, B: 5 oder 6. Wie groß ist P(A) · P(B) − P(A ∩ B)?

✓ Antwort: 0.111111

P(A) · P(B) = 1/3 · 1/3 = 0,111, P(A ∩ B) = 0. Die Differenz ist nicht 0, also sind A und B abhängig.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

A und B sind unabhängig mit P(B̄) = 0,6 und P(A ∩ B̄) = 0,24. Wie groß ist P(A)?

✓ Antwort: 0.4

A und B̄ sind unabhängig: P(A ∩ B̄) = P(A) · P(B̄), also P(A) = 0,24 : 0,6 = 0,4.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Würfel wird einmal geworfen. A: Augenzahl höchstens 2, B: Augenzahl gerade, C: Augenzahl mindestens 5. Untersuche für die Paare A, B und A, C, ob die Ereignisse unvereinbar und ob sie stochastisch unabhängig sind. Begründe mit den Wahrscheinlichkeiten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: A = {1, 2}, B = {2, 4, 6}, C = {5, 6}; P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(C) = 1/3. Paar A, B: A ∩ B = {2}, nicht leer, also nicht unvereinbar; P(A ∩ B) = 1/6 = 1/3 · 1/2 = P(A) · P(B), also unabhängig. Paar A, C: A ∩ C = { }, also unvereinbar; P(A ∩ C) = 0 ≠ 1/3 · 1/3 = 1/9, also abhängig.

Zwei verschiedene Eigenschaften: Unvereinbar prüft man an den Ergebnissen (Schnitt leer?), Unabhängigkeit an den Wahrscheinlichkeiten (Produktprobe). Das Paar A, B ist unabhängig, aber nicht unvereinbar; das Paar A, C unvereinbar, aber abhängig.