Bernoulli-Ketten
Welche dieser Situationen ist eine Bernoulli-Kette?
Erklärung: Eine Bernoulli-Kette braucht in jedem Versuch dasselbe p und unabhängige Versuche. Beim Basketballer ist beides erfüllt. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich p mit jedem Zug, beim nervösen Schützen hängt p vom vorigen Versuch ab.
Ein Würfel wird 10-mal geworfen, ein Treffer ist eine Sechs. Das ist eine Bernoulli-Kette mit p = 1/6.
Erklärung: Auch wenn der Würfel sechs Ausgänge hat: Man fasst „Sechs“ als Treffer und die übrigen fünf Zahlen als Niete zusammen. Dann gibt es zwei Ausgänge, p = 1/6 bleibt gleich und die Würfe sind unabhängig.
Aus der Urne wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen, Treffer ist „rot“. Der erste Zug war ein Treffer. Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug?
Erklärung: Nach einem roten Zug sind noch 9 Kugeln übrig, davon 2 rote: p = 2/9. Weil sich p ändert, ist das keine Bernoulli-Kette. Die 3/10 gälten mit Zurücklegen, 3/9 nach einem blauen ersten Zug.
Aus einer Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln wird mit Zurücklegen gezogen, Treffer ist „rot“. Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit im 5. Zug? (Dezimalzahl)
Erklärung: Durch das Zurücklegen ist die Urne vor jedem Zug gleich gefüllt: p = 4/10 = 0,4 in jedem Zug, unabhängig davon, was vorher gezogen wurde.
Aus einer Urne mit 3 roten und 7 blauen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind? (auf vier Dezimalen)
Erklärung: P(rot, rot) = 3/10 · 2/9 = 6/90 ≈ 0,0667. Wer wie in einer Bernoulli-Kette 0,3 · 0,3 = 0,09 rechnet, benutzt in beiden Zügen dasselbe p und liegt daneben.
Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antworten, genau eine ist richtig. Jemand kreuzt zufällig an. Treffer ist „Frage richtig“. Welche Kette beschreibt das?
Erklärung: Jede Frage ist ein Versuch (n = 10). Beim zufälligen Ankreuzen ist eine von vier Antworten richtig: p = 1/4 = 0,25. Ein p von 0,5 nähme „richtig oder falsch“ als gleich wahrscheinlich, obwohl drei Antworten falsch sind.
Ein Würfel wird 6-mal geworfen, Treffer ist „gerade Augenzahl“. Dann ist n = 6 und p = 1/2.
Erklärung: Gerade sind 2, 4 und 6, also 3 von 6 Augenzahlen: p = 3/6 = 1/2. Die 6 Würfe sind die Versuche, n = 6.
Aus der Urne wird 12-mal mit Zurücklegen gezogen, Treffer ist „rot“. Welche Werte haben n und p?
Erklärung: n ist die Zahl der Züge: 12. Von 30 Kugeln sind 6 rot: p = 6/30 = 0,2. Die 0,25 vergleicht rot mit blau (6 : 24), 30 ist die Kugelzahl, nicht die Zahl der Züge.
Ein Automat stellt Schrauben mit 3 % Ausschuss her. 50 Schrauben werden geprüft, Treffer ist „Schraube defekt“. Wie groß ist p? (Dezimalzahl)
Erklärung: p ist die Wahrscheinlichkeit pro Versuch, also 3 % = 0,03. Die 50 ist n.
Ein Basketballer trifft jeden Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 0,8, die Würfe sind unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 6 Würfen jedes Mal trifft? (auf vier Dezimalen)
Erklärung: Bernoulli-Kette mit n = 6, p = 0,8; der Pfad „6 Treffer“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,8⁶ ≈ 0,2621.
Der Baum zeigt drei Fragen mit p = 0,25. Welche Rechnung gibt die Wahrscheinlichkeit des Pfades T, N, T (Treffer, Niete, Treffer)?
Erklärung: Entlang eines Pfades multipliziert man die Astwahrscheinlichkeiten: 0,25 · 0,75 · 0,25 = 0,25² · 0,75 ≈ 0,0469. Die Niete geht mit 0,75 ein, nicht mit 0,25; addiert wird nur über verschiedene Pfade.
Die Pfade T, T, N und T, N, T einer Kette mit n = 3 haben dieselbe Wahrscheinlichkeit.
Erklärung: Beide Pfade haben zwei Treffer und eine Niete, nur die Reihenfolge der Faktoren ist anders: p · p · (1 − p) in beiden Fällen.
Der Baum gehört zu p = 0,7. Welcher Pfad hat die größte Wahrscheinlichkeit?
Erklärung: T, T, T: 0,7³ = 0,343. T, N, N: 0,7 · 0,3² = 0,063. N, N, N: 0,3³ = 0,027. Mit p > 0,5 zählen Treffer mehr als Nieten.
Eine Kette mit n = 4 und p = 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades T, N, N, T? (Dezimalzahl)
Erklärung: 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,0625: Bei p = 0,5 hat jeder Pfad dieselbe Wahrscheinlichkeit 1/16.
Im Ratetest mit p = 0,25 und 5 Fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei Fragen richtig und die letzten drei falsch beantwortet werden? (auf vier Dezimalen)
Erklärung: Ein Pfad mit 2 Treffern und 3 Nieten: 0,25² · 0,75³ = 0,0625 · 0,421875 ≈ 0,0264.
Im Ratetest gibt es vier Fragen mit p = 0,25. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Pfades „richtig, richtig, falsch, falsch“ und die des Pfades „falsch, falsch, richtig, richtig“. Begründe, warum beide gleich sind, und gib den gemeinsamen Wert an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Jeder Pfad mit zwei Treffern und zwei Nieten hat die Wahrscheinlichkeit 0,25² · 0,75² = 0,0625 · 0,5625 = 0,03515625.