Bernoulli-Ketten

Bernoulli chains

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitBernoulli-KetteBernoulli-Kette

Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen Versuchen mit zwei Ausgängen, Treffer und Niete, und in jedem Versuch gilt dasselbe p. Modellieren heißt, n und p aus der Aufgabe abzulesen; die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baum ist das Produkt der Astwahrscheinlichkeiten pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, unabhängig von der Reihenfolge. Räumt aus: „zwei Ausgänge, also p = ½“, das Ziehen ohne Zurücklegen als Bernoulli-Kette und die Idee, die Reihenfolge ändere die Pfadwahrscheinlichkeit. Bereitet die Formel der Binomialverteilung und den Signifikanztest vor.

Zwei Ausgänge, gleiches p

Ein Ratetest hat 10 Fragen mit je vier Antworten, genau eine ist richtig. Wer zufällig ankreuzt, hat pro Frage die Chance $p = \frac{1}{4} = 0, 25$ , nicht $\frac{1}{2}$ : „richtig“ und „falsch“ sind nicht gleich wahrscheinlich. Jede Frage ist ein Versuch mit nur zwei Ausgängen, Treffer (richtig) und Niete (falsch).

Wiederholt man einen solchen Versuch $n$ -mal, unabhängig und immer mit demselben $p$ , entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ ; hier ist $n = 10$ und $p = 0, 25$ . Auch mehr als zwei Ausgänge passen, wenn man sie zusammenfasst: Bei einem Glücksrad mit fünf gleich großen Feldern und einem Gewinnfeld ist „Gewinn“ der Treffer, $p = \frac{1}{5}$ , die vier übrigen Felder sind zusammen die Niete.

Nur mit Zurücklegen bleibt $p$ gleich und sind die Züge unabhängig. Ohne Zurücklegen hängt die Chance im nächsten Zug davon ab, was schon gezogen wurde; dann ist es keine Bernoulli-Kette.

Eine Urne mit 5 Kugeln, 2 davon rot (Treffer), gezogen mit oder ohne Zurücklegen. Wechsle, ob der erste Zug ein Treffer war: Welches p ändert sich?

Pfade und ihre Wahrscheinlichkeit

Im Baum trägt jeder Ast eine Wahrscheinlichkeit: T (Treffer) hat $p$ , N (Niete) hat $1 - p = 0, 75$ . Ein Pfad ist eine Trefferfolge, hier zum Beispiel T, N, N. Seine Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der Astwahrscheinlichkeiten (Pfadregel):

$0, 25 \cdot 0, 75 \cdot 0, 75 \approx 0, 1406, allgemein bei k Treffern p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} .$

Die Niete geht mit $1 - p$ ein, nicht mit $p$ : Wer nur die Treffer multipliziert, vergisst die Nieten. Die Reihenfolge ändert nichts: T, N, N und N, T, N und N, N, T haben dieselben Faktoren, also denselben Wert.

Bernoulli-Kette mit n = 3 und p = 0,25. Der Pfad T, N, N ist hervorgehoben; rechts stehen alle acht Pfadwahrscheinlichkeiten.

Ermöglicht (1)

Die Binomialverteilung

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche dieser Situationen ist eine Bernoulli-Kette?

● Ein Basketballer wirft 10 Freiwürfe, jeder trifft mit der gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit 0,7.
○ Aus einer Urne mit 3 roten und 7 blauen Kugeln werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen; Treffer ist „rot“.
○ Ein Schütze schießt 5-mal; nach jedem Treffer wird er nervös und trifft nur noch mit 0,4 statt 0,6.

Eine Bernoulli-Kette braucht in jedem Versuch dasselbe p und unabhängige Versuche. Beim Basketballer ist beides erfüllt. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich p mit jedem Zug, beim nervösen Schützen hängt p vom vorigen Versuch ab.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Würfel wird 10-mal geworfen, ein Treffer ist eine Sechs. Das ist eine Bernoulli-Kette mit p = 1/6.

✓ Wahr

Auch wenn der Würfel sechs Ausgänge hat: Man fasst „Sechs“ als Treffer und die übrigen fünf Zahlen als Niete zusammen. Dann gibt es zwei Ausgänge, p = 1/6 bleibt gleich und die Würfe sind unabhängig.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Aus der Urne wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen, Treffer ist „rot“. Der erste Zug war ein Treffer. Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug?

● 2/9
○ 3/10
○ 3/9

Nach einem roten Zug sind noch 9 Kugeln übrig, davon 2 rote: p = 2/9. Weil sich p ändert, ist das keine Bernoulli-Kette. Die 3/10 gälten mit Zurücklegen, 3/9 nach einem blauen ersten Zug.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antworten, genau eine ist richtig. Jemand kreuzt zufällig an. Treffer ist „Frage richtig“. Welche Kette beschreibt das?

● n = 10 und p = 0,25
○ n = 4 und p = 0,1
○ n = 10 und p = 0,5

Jede Frage ist ein Versuch (n = 10). Beim zufälligen Ankreuzen ist eine von vier Antworten richtig: p = 1/4 = 0,25. Ein p von 0,5 nähme „richtig oder falsch“ als gleich wahrscheinlich, obwohl drei Antworten falsch sind.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Würfel wird 6-mal geworfen, Treffer ist „gerade Augenzahl“. Dann ist n = 6 und p = 1/2.

✓ Wahr

Gerade sind 2, 4 und 6, also 3 von 6 Augenzahlen: p = 3/6 = 1/2. Die 6 Würfe sind die Versuche, n = 6.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Aus der Urne wird 12-mal mit Zurücklegen gezogen, Treffer ist „rot“. Welche Werte haben n und p?

● n = 12 und p = 0,2
○ n = 12 und p = 0,25
○ n = 30 und p = 0,2

n ist die Zahl der Züge: 12. Von 30 Kugeln sind 6 rot: p = 6/30 = 0,2. Die 0,25 vergleicht rot mit blau (6 : 24), 30 ist die Kugelzahl, nicht die Zahl der Züge.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Baum zeigt drei Fragen mit p = 0,25. Welche Rechnung gibt die Wahrscheinlichkeit des Pfades T, N, T (Treffer, Niete, Treffer)?

● 0,25 · 0,75 · 0,25
○ 0,25 · 0,25 · 0,25
○ 0,25 + 0,75 + 0,25

Entlang eines Pfades multipliziert man die Astwahrscheinlichkeiten: 0,25 · 0,75 · 0,25 = 0,25² · 0,75 ≈ 0,0469. Die Niete geht mit 0,75 ein, nicht mit 0,25; addiert wird nur über verschiedene Pfade.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Pfade T, T, N und T, N, T einer Kette mit n = 3 haben dieselbe Wahrscheinlichkeit.

✓ Wahr

Beide Pfade haben zwei Treffer und eine Niete, nur die Reihenfolge der Faktoren ist anders: p · p · (1 − p) in beiden Fällen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Baum gehört zu p = 0,7. Welcher Pfad hat die größte Wahrscheinlichkeit?

● T, T, T
○ T, N, N
○ N, N, N

T, T, T: 0,7³ = 0,343. T, N, N: 0,7 · 0,3² = 0,063. N, N, N: 0,3³ = 0,027. Mit p > 0,5 zählen Treffer mehr als Nieten.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus einer Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln wird mit Zurücklegen gezogen, Treffer ist „rot“. Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit im 5. Zug? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.4

Durch das Zurücklegen ist die Urne vor jedem Zug gleich gefüllt: p = 4/10 = 0,4 in jedem Zug, unabhängig davon, was vorher gezogen wurde.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Automat stellt Schrauben mit 3 % Ausschuss her. 50 Schrauben werden geprüft, Treffer ist „Schraube defekt“. Wie groß ist p? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.03

p ist die Wahrscheinlichkeit pro Versuch, also 3 % = 0,03. Die 50 ist n.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Kette mit n = 4 und p = 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades T, N, N, T? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.0625

0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,0625: Bei p = 0,5 hat jeder Pfad dieselbe Wahrscheinlichkeit 1/16.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus einer Urne mit 3 roten und 7 blauen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind? (auf vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.0667

P(rot, rot) = 3/10 · 2/9 = 6/90 ≈ 0,0667. Wer wie in einer Bernoulli-Kette 0,3 · 0,3 = 0,09 rechnet, benutzt in beiden Zügen dasselbe p und liegt daneben.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Basketballer trifft jeden Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 0,8, die Würfe sind unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 6 Würfen jedes Mal trifft? (auf vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.2621

Bernoulli-Kette mit n = 6, p = 0,8; der Pfad „6 Treffer“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,8⁶ ≈ 0,2621.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Im Ratetest mit p = 0,25 und 5 Fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei Fragen richtig und die letzten drei falsch beantwortet werden? (auf vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.0264

Ein Pfad mit 2 Treffern und 3 Nieten: 0,25² · 0,75³ = 0,0625 · 0,421875 ≈ 0,0264.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Im Ratetest gibt es vier Fragen mit p = 0,25. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Pfades „richtig, richtig, falsch, falsch“ und die des Pfades „falsch, falsch, richtig, richtig“. Begründe, warum beide gleich sind, und gib den gemeinsamen Wert an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Pfad R, R, F, F: 0,25 · 0,25 · 0,75 · 0,75 = 0,25² · 0,75² = 0,0625 · 0,5625 = 0,03515625 ≈ 0,0352. Pfad F, F, R, R: 0,75 · 0,75 · 0,25 · 0,25 ergibt denselben Wert, weil dieselben Faktoren in anderer Reihenfolge multipliziert werden.

Jeder Pfad mit zwei Treffern und zwei Nieten hat die Wahrscheinlichkeit 0,25² · 0,75² = 0,0625 · 0,5625 = 0,03515625.