Der Binomialkoeffizient
Beim Lotto â6 aus 49â spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle. Welche Rechnung zĂ€hlt die möglichen Tipps?
ErklĂ€rung: Die Zahlen werden nicht zurĂŒckgelegt, aber ihre Reihenfolge zĂ€hlt nicht: Jede Auswahl kommt in den 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 geordneten Ergebnissen 6! = 720-mal vor. Man teilt also durch 6!. 49ⶠzĂ€hlt ZĂŒge mit ZurĂŒcklegen.
Aus den Kugeln A, B, C, D werden ohne ZurĂŒcklegen zwei gezogen. Die ungeordneten Auswahlen {A, B} und {B, A} sind verschieden.
ErklÀrung: Bei einer ungeordneten Auswahl kommt es nur darauf an, welche Kugeln gezogen werden, nicht in welcher Reihenfolge: {A, B} und {B, A} sind dieselbe Auswahl.
Jeder Punkt (i | j) ist ein geordnetes Paar aus vier Kugeln (i = erste, j = zweite Kugel), ohne ZurĂŒcklegen. Wie viele ungeordnete Auswahlen von zwei Kugeln gibt es?
ErklÀrung: Die 12 geordneten Paare bilden Zweiergruppen: (1, 2) und (2, 1) gehören zur selben Auswahl. 12 : 2! = 6 ungeordnete Auswahlen. Die 12 zÀhlt die Reihenfolge mit, die 24 wÀre 12 · 2.
Aus 5 Kindern werden 3 fĂŒr ein Team ausgewĂ€hlt. Es gibt 5 · 4 · 3 = 60 geordnete Dreiergruppen. Wie oft wird dasselbe Team dabei gezĂ€hlt (die Zahl der Reihenfolgen von 3 Kindern)?
ErklÀrung: Drei Kinder lassen sich auf 3! = 3 · 2 · 1 = 6 Arten anordnen; jedes Team steckt also 6-mal in den 60 geordneten Gruppen.
Aus 5 Kindern werden 3 fĂŒr ein Team ausgewĂ€hlt, die Reihenfolge ist egal. Wie viele verschiedene Teams gibt es?
ErklÀrung: 5 · 4 · 3 = 60 geordnete Gruppen, jedes Team zÀhlt 3! = 6-mal: 60 : 6 = 10 Teams.
Aus 8 Personen wird ein Ausschuss aus 3 Mitgliedern gewĂ€hlt. Wie viele mögliche AusschĂŒsse gibt es?
ErklĂ€rung: 8 · 7 · 6 = 336 geordnete Dreiergruppen, geteilt durch 3! = 6: 56 AusschĂŒsse.
Aus 10 SchĂŒlern wird ein Komitee aus 4 Personen gewĂ€hlt, die Reihenfolge spielt keine Rolle. Bestimme zuerst die Zahl der geordneten Auswahlen (ohne ZurĂŒcklegen), erklĂ€re dann, warum du durch 4! teilen musst, und gib die Zahl der Komitees an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Jede Auswahl von 4 Personen entspricht 4! = 24 geordneten Auswahlen; teilt man 5040 durch 24, bleibt jede Auswahl genau einmal ĂŒbrig: 210.
Welchen Wert hat C(6, 2), gelesen â6 ĂŒber 2â?
ErklÀrung: C(6, 2) = 6 · 5 / 2! = 30 / 2 = 15. Die 30 sind die geordneten Paare, die 12 wÀren 6 · 2.
C(8, 3) und C(8, 5) haben denselben Wert.
ErklĂ€rung: Wer 3 Elemente auswĂ€hlt, lĂ€sst 5 zurĂŒck: Jede Auswahl von 3 entspricht genau einer Auswahl von 5. Beide sind 56.
Das Diagramm zeigt C(6, k). Welche SĂ€ule ist genauso hoch wie die bei k = 1?
ErklĂ€rung: Die Auswahl von 1 aus 6 entspricht der Auswahl der 5, die zurĂŒckbleiben: C(6, 1) = C(6, 5) = 6. Die SĂ€ulen sind symmetrisch zur Mitte k = 3.
Berechne C(7, 3).
ErklÀrung: C(7, 3) = 7 · 6 · 5 / (3 · 2 · 1) = 210 / 6 = 35.
C(9, 9) = ___
ErklÀrung: Aus 9 Elementen alle 9 auszuwÀhlen geht nur auf eine Art: C(9, 9) = 1.
Aus 12 SchĂŒlern werden 2 als Delegierte gewĂ€hlt (Reihenfolge egal). Wie viele Möglichkeiten gibt es?
ErklÀrung: C(12, 2) = 12 · 11 / 2 = 66.
Wie groĂ ist beim Lotto â6 aus 49â die Wahrscheinlichkeit fĂŒr sechs Richtige mit einem Tipp?
ErklĂ€rung: Alle C(49, 6) = 13 983 816 Tipps sind gleich wahrscheinlich, genau einer ist gĂŒnstig: P = 1/13 983 816. 6/49 wĂ€re die Chance fĂŒr eine einzelne Zahl im ersten Zug, 49ⶠzĂ€hlte mit ZurĂŒcklegen.
Aus 5 Kugeln werden 2 ohne ZurĂŒcklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Jede mögliche Auswahl hat die Wahrscheinlichkeit 1/10.
ErklÀrung: Es gibt C(5, 2) = 10 gleich wahrscheinliche Auswahlen, jede also 1/10.
Aus der Urne werden 3 Kugeln ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Welche Rechnung zĂ€hlt die Auswahlen mit genau 2 roten Kugeln?
ErklÀrung: Zwei rote wÀhlt man aus den 4 roten (C(4, 2) Möglichkeiten), die dritte Kugel blau aus den 6 blauen (C(6, 1)); beide Wahlen werden kombiniert, also multipliziert: 6 · 6 = 36.
Aus der Urne (4 rote, 6 blaue Kugeln) werden 3 Kugeln ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr genau 2 rote? (Dezimalzahl)
ErklĂ€rung: GĂŒnstig: C(4, 2) · C(6, 1) = 36, möglich: C(10, 3) = 120. P = 36/120 = 0,3.
In einer Klasse mit 20 SchĂŒlern sind 12 MĂ€dchen. Drei SchĂŒler werden zufĂ€llig ausgelost. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, dass es drei MĂ€dchen sind? (auf vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: GĂŒnstig: C(12, 3) = 220, möglich: C(20, 3) = 1140. P = 220/1140 â 0,1930.