Der Binomialkoeffizient
The binomial coefficient
Wenn die Reihenfolge nicht zählt, steckt jede Auswahl k!-mal in den geordneten Ergebnissen: Die Zahl der Auswahlen von k aus n ist n · (n − 1) · … · (n − k + 1) geteilt durch k!, der Binomialkoeffizient „n über k“. Er ist symmetrisch, und gleich wahrscheinliche Auswahlen führen mit Laplace zu Wahrscheinlichkeiten wie 1/13 983 816 beim Lotto. Räumt aus, die Reihenfolge mitzuzählen oder mit n! : k! zu rechnen. Bereitet die Pfadanzahl in der Formel der Binomialverteilung vor.
Reihenfolge egal
Ein Trainer wählt zwei von vier Spielern aus; wen er zuerst nennt, ist egal. Wir ziehen also zwei von vier Kugeln
ohne Zurücklegen, aber die Reihenfolge zählt nicht. Von den 12 geordneten Paaren gehören je zwei zur selben Auswahl:
Allgemein lassen sich
Der Binomialkoeffizient
Die Zahl der ungeordneten Auswahlen von
Wer
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Beim Lotto „6 aus 49“ spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle. Welche Rechnung zählt die möglichen Tipps?
Aus den Kugeln A, B, C, D werden ohne Zurücklegen zwei gezogen. Die ungeordneten Auswahlen {A, B} und {B, A} sind verschieden.
Jeder Punkt (i | j) ist ein geordnetes Paar aus vier Kugeln (i = erste, j = zweite Kugel), ohne Zurücklegen. Wie viele ungeordnete Auswahlen von zwei Kugeln gibt es?
Welchen Wert hat C(6, 2), gelesen „6 über 2“?
C(8, 3) und C(8, 5) haben denselben Wert.
Das Diagramm zeigt C(6, k). Welche Säule ist genauso hoch wie die bei k = 1?
Wie groß ist beim Lotto „6 aus 49“ die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige mit einem Tipp?
Aus 5 Kugeln werden 2 ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Jede mögliche Auswahl hat die Wahrscheinlichkeit 1/10.
Aus der Urne werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Welche Rechnung zählt die Auswahlen mit genau 2 roten Kugeln?
Aus 5 Kindern werden 3 für ein Team ausgewählt. Es gibt 5 · 4 · 3 = 60 geordnete Dreiergruppen. Wie oft wird dasselbe Team dabei gezählt (die Zahl der Reihenfolgen von 3 Kindern)?
Berechne C(7, 3).
C(9, 9) = ___
Aus der Urne (4 rote, 6 blaue Kugeln) werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 rote? (Dezimalzahl)
Aus 5 Kindern werden 3 für ein Team ausgewählt, die Reihenfolge ist egal. Wie viele verschiedene Teams gibt es?
Aus 8 Personen wird ein Ausschuss aus 3 Mitgliedern gewählt. Wie viele mögliche Ausschüsse gibt es?
Aus 10 Schülern wird ein Komitee aus 4 Personen gewählt, die Reihenfolge spielt keine Rolle. Bestimme zuerst die Zahl der geordneten Auswahlen (ohne Zurücklegen), erkläre dann, warum du durch 4! teilen musst, und gib die Zahl der Komitees an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Aus 12 Schülern werden 2 als Delegierte gewählt (Reihenfolge egal). Wie viele Möglichkeiten gibt es?
In einer Klasse mit 20 Schülern sind 12 Mädchen. Drei Schüler werden zufällig ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es drei Mädchen sind? (auf vier Dezimalen)