Die Binomialverteilung
Der Baum gehört zu einer Kette mit n = 3 und p = 0,4. Welche Rechnung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?
Erklärung: Drei Pfade (T, T, N; T, N, T; N, T, T) haben je 2 Treffer und 1 Niete, jeder mit 0,4² · 0,6 = 0,096. Zusammen: 3 · 0,4² · 0,6 = 0,288. Ohne den Faktor 3 zählt man nur einen der drei Pfade.
Der Baum zeigt vier Würfe. Genau 2 Treffer gibt es auf C(4, 2) = 6 seiner Pfade.
Erklärung: Von den 16 Pfaden legen 6 fest, an welchen zwei der vier Stellen die Treffer stehen: TTNN, TNTN, TNNT, NTTN, NTNT, NNTT. Das ist C(4, 2) = 6.
Bei n = 5 und p = 0,3 gilt P(X = 2) = 10 · 0,3² · 0,7³. Welcher Faktor zählt die Pfade mit genau 2 Treffern?
Erklärung: Die 10 = C(5, 2) zählt, wie viele Pfade zwei Treffer enthalten. 0,3² ist die Wahrscheinlichkeit der zwei Treffer eines Pfades, 0,7³ die der drei Nieten.
Wie viele Pfade mit genau 3 Treffern hat eine Bernoulli-Kette der Länge n = 6?
Erklärung: C(6, 3) = 6 · 5 · 4 / (3 · 2 · 1) = 20 Möglichkeiten, die 3 Stellen der Treffer zu wählen.
Bei n = 8 und p = 0,4 gilt P(X = 3) = C(8, 3) · 0,4³ · 0,6^___
Erklärung: Neben 3 Treffern gibt es 8 − 3 = 5 Nieten, jede mit der Wahrscheinlichkeit 0,6: Exponent n − k = 5.
Bei n = 4 und p = 0,5: Wie groß ist P(X = 2)? (Dezimalzahl)
Erklärung: C(4, 2) · 0,5² · 0,5² = 6 · 0,0625 = 0,375.
Im Ratetest (n = 10, p = 0,25) soll P(genau 3 richtig) berechnet werden. Welcher Term ist richtig?
Erklärung: Drei Treffer mit 0,25 pro Treffer, sieben Nieten mit 0,75 pro Niete: C(10, 3) · 0,25³ · 0,75⁷. Vertauscht man die Exponenten, gehört die 7 zu den Treffern; bei C(10, 7) passt der Exponent von 0,75 nicht zu den 7 Positionen.
Im Ratetest (n = 10, p = 0,25) ist P(X = 0) = 0,75¹⁰.
Erklärung: Keine Treffer heißt zehn Nieten: C(10, 0) · 0,25⁰ · 0,75¹⁰ = 1 · 1 · 0,75¹⁰ ≈ 0,0563.
Im Ratetest (n = 10, p = 0,25): Wie groß ist P(X = 3)? (auf vier Dezimalen)
Erklärung: C(10, 3) · 0,25³ · 0,75⁷ = 120 · 0,015625 · 0,13348 ≈ 0,2503.
Ein Schütze trifft mit p = 0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 5 Schüssen genau 4-mal trifft? (auf vier Dezimalen)
Erklärung: C(5, 4) · 0,7⁴ · 0,3¹ = 5 · 0,2401 · 0,3 = 0,36015 ≈ 0,3602.
Eine Schraube ist mit 4 % Wahrscheinlichkeit defekt. Unter 20 Schrauben: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau eine defekte? (auf vier Dezimalen)
Erklärung: C(20, 1) · 0,04 · 0,96¹⁹ = 20 · 0,04 · 0,4604 ≈ 0,3683.
Ein Ratetest hat 5 Fragen mit je 4 Antworten (p = 0,25). Begründe mit Pfaden und Pfadwahrscheinlichkeit, wie man die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige Antworten berechnet, und gib das Ergebnis an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Alle 10 Pfade mit zwei Treffern haben dieselbe Wahrscheinlichkeit 0,25² · 0,75³ ≈ 0,02637; zusammen 0,2637.
Das Histogramm zeigt die Verteilung der Trefferzahl X im Ratetest. Wie groß ist die Summe aller Säulenhöhen?
Erklärung: Die Säulenhöhen sind die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte 0 bis 10; zusammen ergeben sie 1. Die 0,25 ist die Trefferwahrscheinlichkeit p, die 10 der größte Wert von X.
Welche Trefferzahl im Ratetest hat laut Histogramm die größte Wahrscheinlichkeit?
Erklärung: Die höchste Säule steht bei k = 2 (P ≈ 0,2816), knapp vor k = 3 (P ≈ 0,2503). Die Säule bei k = 4 ist schon deutlich niedriger (P ≈ 0,1460).
Im Ratetest ist „alle 10 Fragen richtig“ unmöglich, weil die Säule bei k = 10 im Histogramm nicht zu sehen ist.
Erklärung: Die Säule ist nicht null, nur winzig: P(X = 10) = 0,25¹⁰ ≈ 0,00000095. Unmöglich wäre ein Wert nur, wenn er nicht zwischen 0 und n läge.
Lies aus dem Histogramm ab: Wie groß ist P(X = 1) ungefähr? (Dezimalzahl, auf zwei Dezimalen)
Erklärung: Die Säule bei k = 1 reicht bis etwa 0,19 (genau 0,1877).
Für eine Kette mit n = 3 und p = 0,4 gilt P(X = 0) = 0,216, P(X = 1) = 0,432 und P(X = 2) = 0,288. Wie groß ist P(X = 3)?
Erklärung: Die Wahrscheinlichkeiten aller Werte ergeben zusammen 1: P(X = 3) = 1 − 0,216 − 0,432 − 0,288 = 0,064. Kontrolle: 0,4³ = 0,064.