Die Binomialverteilung

The binomial distribution

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

WahrscheinlichkeitBinomialverteilungHistogramm

Für X ~ B(n; p) gilt P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: die Zahl der Pfade mit k Treffern, mal die Wahrscheinlichkeit der k Treffer, mal die der n − k Nieten. Alle Werte P(X = k) bilden ein Histogramm der Breite 1, dessen Höhen sich zu 1 summieren. Räumt aus: die Pfadanzahl zu vergessen, die Nieten wegzulassen und die Zufallsgröße X (eine Trefferzahl) mit einer Wahrscheinlichkeit zu verwechseln. Bereitet die kumulierten Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Streuung sowie den Signifikanztest vor.

Pfade zählen

Wie wahrscheinlich ist genau ein Treffer bei drei Fragen mit $p = 0, 25$ ? Drei Pfade haben einen Treffer und zwei Nieten: T, N, N und N, T, N und N, N, T. Jeder hat die Wahrscheinlichkeit $0, 25 \cdot 0, 7 5^{2} \approx 0, 1406$ , zusammen also $3 \cdot 0, 140625 \approx 0, 4219$ .

Die Drei zählt die Pfade: Man wählt aus den $n$ Stellen die $k$ der Treffer aus, ungeordnet und ohne Zurücklegen, das sind $(k n)$ Möglichkeiten (hier $n = 3$ , $k = 1$ ). Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer. Sie heißt binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ , kurz $X \sim B (n; p)$ , und es gilt:

$P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$

Das ist die Zahl der Pfade, mal die Wahrscheinlichkeit der k Treffer, mal die der n − k Nieten. Für das Beispiel: $(1 3) \cdot 0, 2 5^{1} \cdot 0, 7 5^{2} \approx 0, 4219$ . Ohne die Pfadzahl käme nur $0, 1406$ heraus, ein falscher Wert.

Drei Pfade mit genau einem Treffer (hervorgehoben), jeder mit der Wahrscheinlichkeit 0,1406.

Die Verteilung lesen

Im Ratetest ist $X \sim B (10; 0, 25)$ . Für genau vier richtige Antworten gilt $P (X = 4) = (4 10) \cdot 0, 2 5^{4} \cdot 0, 7 5^{6} = 210 \cdot 0, 00390625 \cdot 0, 178 \approx 0, 146$ .

Rechnet man $P (X = k)$ für alle $k = 0, 1, \dots, 10$ aus, entsteht das Histogramm der Verteilung: Die Säule bei $k$ hat die Breite 1 und die Höhe $P (X = k)$ . Weil $X$ einen der Werte 0 bis 10 annimmt, ergeben alle Säulenhöhen zusammen 1. Das ist eine Kontrolle für jede Rechnung: Eine Tabelle, die sich nicht zu 1 summiert, enthält einen Fehler.

Wähle k und lies die Höhe der Säule ab. Wo liegt der Gipfel, und wie klein werden die Säulen ab k = 7?

Voraussetzungen (2)

Der Binomialkoeffizient

Ermöglicht (2)

Erwartungswert und Streuung

Klasse 12

›

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Baum gehört zu einer Kette mit n = 3 und p = 0,4. Welche Rechnung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?

● 3 · 0,4² · 0,6
○ 0,4² · 0,6
○ 2 · 0,4 · 0,6

Drei Pfade (T, T, N; T, N, T; N, T, T) haben je 2 Treffer und 1 Niete, jeder mit 0,4² · 0,6 = 0,096. Zusammen: 3 · 0,4² · 0,6 = 0,288. Ohne den Faktor 3 zählt man nur einen der drei Pfade.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Baum zeigt vier Würfe. Genau 2 Treffer gibt es auf C(4, 2) = 6 seiner Pfade.

✓ Wahr

Von den 16 Pfaden legen 6 fest, an welchen zwei der vier Stellen die Treffer stehen: TTNN, TNTN, TNNT, NTTN, NTNT, NNTT. Das ist C(4, 2) = 6.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Bei n = 5 und p = 0,3 gilt P(X = 2) = 10 · 0,3² · 0,7³. Welcher Faktor zählt die Pfade mit genau 2 Treffern?

● 10
○ 0,3²
○ 0,7³

Die 10 = C(5, 2) zählt, wie viele Pfade zwei Treffer enthalten. 0,3² ist die Wahrscheinlichkeit der zwei Treffer eines Pfades, 0,7³ die der drei Nieten.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Im Ratetest (n = 10, p = 0,25) soll P(genau 3 richtig) berechnet werden. Welcher Term ist richtig?

● C(10, 3) · 0,25³ · 0,75⁷
○ C(10, 3) · 0,25⁷ · 0,75³
○ C(10, 7) · 0,25³ · 0,75³

Drei Treffer mit 0,25 pro Treffer, sieben Nieten mit 0,75 pro Niete: C(10, 3) · 0,25³ · 0,75⁷. Vertauscht man die Exponenten, gehört die 7 zu den Treffern; bei C(10, 7) passt der Exponent von 0,75 nicht zu den 7 Positionen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Im Ratetest (n = 10, p = 0,25) ist P(X = 0) = 0,75¹⁰.

✓ Wahr

Keine Treffer heißt zehn Nieten: C(10, 0) · 0,25⁰ · 0,75¹⁰ = 1 · 1 · 0,75¹⁰ ≈ 0,0563.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Das Histogramm zeigt die Verteilung der Trefferzahl X im Ratetest. Wie groß ist die Summe aller Säulenhöhen?

● 1
○ 0,25
○ 10

Die Säulenhöhen sind die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte 0 bis 10; zusammen ergeben sie 1. Die 0,25 ist die Trefferwahrscheinlichkeit p, die 10 der größte Wert von X.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Trefferzahl im Ratetest hat laut Histogramm die größte Wahrscheinlichkeit?

● 2
○ 3
○ 4

Die höchste Säule steht bei k = 2 (P ≈ 0,2816), knapp vor k = 3 (P ≈ 0,2503). Die Säule bei k = 4 ist schon deutlich niedriger (P ≈ 0,1460).

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Im Ratetest ist „alle 10 Fragen richtig“ unmöglich, weil die Säule bei k = 10 im Histogramm nicht zu sehen ist.

✓ Falsch

Die Säule ist nicht null, nur winzig: P(X = 10) = 0,25¹⁰ ≈ 0,00000095. Unmöglich wäre ein Wert nur, wenn er nicht zwischen 0 und n läge.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele Pfade mit genau 3 Treffern hat eine Bernoulli-Kette der Länge n = 6?

✓ Antwort: 20

C(6, 3) = 6 · 5 · 4 / (3 · 2 · 1) = 20 Möglichkeiten, die 3 Stellen der Treffer zu wählen.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Bei n = 8 und p = 0,4 gilt P(X = 3) = C(8, 3) · 0,4³ · 0,6^___

✓ Antwort: 5

Neben 3 Treffern gibt es 8 − 3 = 5 Nieten, jede mit der Wahrscheinlichkeit 0,6: Exponent n − k = 5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Im Ratetest (n = 10, p = 0,25): Wie groß ist P(X = 3)? (auf vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.2503

C(10, 3) · 0,25³ · 0,75⁷ = 120 · 0,015625 · 0,13348 ≈ 0,2503.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Lies aus dem Histogramm ab: Wie groß ist P(X = 1) ungefähr? (Dezimalzahl, auf zwei Dezimalen)

✓ Antwort: 0.19

Die Säule bei k = 1 reicht bis etwa 0,19 (genau 0,1877).

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bei n = 4 und p = 0,5: Wie groß ist P(X = 2)? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.375

C(4, 2) · 0,5² · 0,5² = 6 · 0,0625 = 0,375.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Schütze trifft mit p = 0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 5 Schüssen genau 4-mal trifft? (auf vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.36015

C(5, 4) · 0,7⁴ · 0,3¹ = 5 · 0,2401 · 0,3 = 0,36015 ≈ 0,3602.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Schraube ist mit 4 % Wahrscheinlichkeit defekt. Unter 20 Schrauben: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau eine defekte? (auf vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.3683

C(20, 1) · 0,04 · 0,96¹⁹ = 20 · 0,04 · 0,4604 ≈ 0,3683.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Ratetest hat 5 Fragen mit je 4 Antworten (p = 0,25). Begründe mit Pfaden und Pfadwahrscheinlichkeit, wie man die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige Antworten berechnet, und gib das Ergebnis an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Ein Pfad mit 2 Treffern und 3 Nieten hat die Wahrscheinlichkeit 0,25² · 0,75³ = 0,0263672. Es gibt C(5, 2) = 10 solche Pfade (Wahl der 2 Treffer-Stellen). P(X = 2) = 10 · 0,25² · 0,75³ ≈ 0,2637.

Alle 10 Pfade mit zwei Treffern haben dieselbe Wahrscheinlichkeit 0,25² · 0,75³ ≈ 0,02637; zusammen 0,2637.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Für eine Kette mit n = 3 und p = 0,4 gilt P(X = 0) = 0,216, P(X = 1) = 0,432 und P(X = 2) = 0,288. Wie groß ist P(X = 3)?

✓ Antwort: 0.064

Die Wahrscheinlichkeiten aller Werte ergeben zusammen 1: P(X = 3) = 1 − 0,216 − 0,432 − 0,288 = 0,064. Kontrolle: 0,4³ = 0,064.