Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Im Ratetest (n = 10) sei X die Zahl der richtigen Antworten. Welcher Ausdruck steht fĂŒr âhöchstens 4 richtigâ?
ErklĂ€rung: âHöchstens 4â schlieĂt die 4 ein: X â {0, 1, 2, 3, 4}, also P(X †4). P(X < 4) wĂ€re âweniger als 4â (bis 3), P(X = 4) âgenau 4â.
Im Histogramm sind die SĂ€ulen 0 bis 4 eingefĂ€rbt. FĂŒr welches Ereignis steht die Farbe?
ErklĂ€rung: EingefĂ€rbt sind alle SĂ€ulen von 0 bis einschlieĂlich 4: âhöchstens 4â, P(X †4). âWeniger als 4â hörte bei 3 auf, âgenau 4â fĂ€rbte nur eine SĂ€ule.
Im Ratetest gilt P(X = 0) = 0,0563 und P(X = 1) = 0,1877. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr höchstens einen Treffer, P(X †1)? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X †1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,0563 + 0,1877 â 0,2440.
Aus der Tabelle des Ratetests (n = 10, p = 0,25): P(X †2) = 0,5256. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr weniger als 3 richtige Antworten?
ErklĂ€rung: âWeniger als 3â heiĂt höchstens 2: P(X < 3) = P(X †2) = 0,5256. Wer P(X †3) nimmt, zĂ€hlt die 3 fĂ€lschlich mit.
Im Ratetest (n = 10) sei X die Zahl der richtigen Antworten. Welche Rechnung gibt P(mindestens 5 richtig)?
ErklĂ€rung: âMindestens 5â ist das Gegenereignis zu âhöchstens 4â: P(X â„ 5) = 1 â P(X †4). Bei 1 â P(X †5) wĂŒrde man die 5 mit wegwerfen.
Im Histogramm sind die SĂ€ulen 5 bis 10 eingefĂ€rbt. FĂŒr welches Ereignis steht die Farbe?
ErklĂ€rung: EingefĂ€rbt ist ab der SĂ€ule 5 alles: âmindestens 5â, P(X â„ 5). âMehr als 5â finge erst bei 6 an, âhöchstens 5â lĂ€ge links.
Im Ratetest (n = 10, p = 0,25) gilt P(X †4) = 0,9219. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr mindestens 5 richtige Antworten? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X â„ 5) = 1 â P(X †4) = 1 â 0,9219 = 0,0781 (etwa 8 %).
In einer Lieferung ist jede Schraube mit p = 0,1 defekt. Unter 20 Schrauben gilt P(X †2) = 0,6769. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr mindestens 3 defekte? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X â„ 3) = 1 â P(X †2) = 1 â 0,6769 = 0,3231.
Ein Test mit 10 Fragen (je 4 Antworten) gilt mit mindestens 5 richtigen Antworten als bestanden. Jemand kreuzt zufĂ€llig an (p = 0,25). Gegeben sind P(X = 0) = 0,0563, P(X = 1) = 0,1877, P(X = 2) = 0,2816, P(X = 3) = 0,2503, P(X = 4) = 0,1460. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, den Test durch Raten zu bestehen, und begrĂŒnde, warum du ĂŒber das Gegenereignis rechnest.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Die Summe der fĂŒnf gegebenen Werte ist 0,9219, das Gegenereignis âhöchstens 4â ist also fast sicher; Bestehen durch Raten hat nur etwa 7,8 %.
Im Ratetest (n = 10) soll P(3 †X †6) berechnet werden. Welche Rechnung stimmt?
ErklĂ€rung: Von P(X †6) zieht man alles unterhalb der 3 ab, also P(X †2). Mit P(X †3) wĂŒrde die SĂ€ule bei 3 mit abgezogen; addieren gĂ€be eine Wahrscheinlichkeit ĂŒber der von P(X †6).
Im Histogramm sind die SÀulen 3 bis 6 eingefÀrbt. Welcher Ausdruck gehört dazu?
ErklĂ€rung: EingefĂ€rbt sind die SĂ€ulen 3, 4, 5 und 6, beide RandsĂ€ulen gehören dazu: P(3 †X †6). Bei 3 < X wĂŒrde die SĂ€ule 3 fehlen, bei X < 6 die SĂ€ule 6.
Im Ratetest gilt P(X †6) = 0,9965 und P(X †2) = 0,5256. Wie groà ist P(3 †X †6)? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(3 †X †6) = P(X †6) â P(X †2) = 0,9965 â 0,5256 = 0,4709.
Im Ratetest gilt P(X †4) = 0,9219 und P(X †1) = 0,2440. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr mindestens 2 und höchstens 4 richtige Antworten? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(2 †X †4) = P(X †4) â P(X †1) = 0,9219 â 0,2440 = 0,6779.
Wie lautet ÎŁ (i = 3 bis 6) P(X = i) ausgeschrieben?
ErklĂ€rung: Das Summenzeichen lĂ€uft mit i von der unteren Grenze 3 bis zur oberen Grenze 6 und addiert alle Summanden: vier StĂŒck, auch die Randwerte 3 und 6. Ohne die 6 oder ohne die 3 fehlte eine SĂ€ule.
FĂŒr X ~ B(10; 0,25) gilt ÎŁ (i = 0 bis 10) P(X = i) = 1.
ErklĂ€rung: Die Summe lĂ€uft ĂŒber alle möglichen Werte von X, und diese Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1.
Welche Summe gibt P(X â„ 7) fĂŒr X ~ B(n; p)?
ErklĂ€rung: âMindestens 7â lĂ€uft von 7 bis zum gröĂten Wert n. Die zweite Summe wĂ€re P(X †7), die dritte P(X †6) = P(X < 7).
P(X †4) = Σ (i = 0 bis ___) P(X = i)
ErklĂ€rung: Bei âhöchstens 4â lĂ€uft die Summe bis einschlieĂlich 4.
Berechne ÎŁ (i = 8 bis 10) C(10, i) · 0,25Ⱡ· 0,75Âčâ°â»â±. (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: i = 8: 45 · 0,25➠· 0,75ÂČ â 0,000386; i = 9: 10 · 0,25âč · 0,75 â 0,000029; i = 10: 0,25Âčâ° â 0,0000010. Summe â 0,0004.