Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Cumulative probabilities

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

WahrscheinlichkeitBinomialverteilungKumulative VerteilungsfunktionSummenschreibweise

„Höchstens k“ addiert die Säulen 0 bis k, P(X ≤ k); „mindestens k“ ist das Gegenereignis zu „höchstens k − 1“; „zwischen a und b“ ist P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1). Das Summenzeichen schreibt dieselbe Summe kurz auf. Räumt den häufigsten Fehler aus: die Grenze um eins zu verschieben, etwa „mindestens 5“ als 1 − P(X ≤ 5) oder „höchstens 4“ als P(X < 4). Bereitet den Ablehnungsbereich im Signifikanztest vor, wo die Bedingung P(X ≤ k) ≤ α die Grenze festlegt.

Höchstens und mindestens

Wie wahrscheinlich sind im Ratetest höchstens drei richtige Antworten? Man addiert die Säulen 0 bis 3: $P (X \leq 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) \approx 0, 7759$ . Solche Summen heißen kumulierte Wahrscheinlichkeiten. Die Grenze gehört dazu, das sagt das Zeichen $\leq$ .

„Mindestens vier“ ist das Gegenereignis zu „höchstens drei“, also $P (X \geq 4) = 1 - P (X \leq 3) \approx 1 - 0, 7759 = 0, 2241$ . Achtung an der Grenze: Das Gegenereignis beginnt bei 4, nicht bei 3. Auch „weniger als vier“ heißt nichts anderes als „höchstens drei“: Bei ganzen Zahlen entscheidet das Zeichen $<$ oder $\leq$ über eine ganze Säule.

Schiebe k. Die Säulen bis k ergeben P(X ≤ k). Wie groß ist der Rest?

Zwischen zwei Werten

Für $P (2 \leq X \leq 5)$ nimmt man den Bereich bis 5 und zieht alles unterhalb von 2 ab, also den Bereich bis 1: $P (2 \leq X \leq 5) = P (X \leq 5) - P (X \leq 1) \approx 0, 98027 - 0, 24403 \approx 0, 7362$ . Beide Randwerte 2 und 5 gehören zum Bereich.

Dieselbe Summe schreibt das Summenzeichen kurz auf: Der Laufindex $i$ läuft von der unteren Grenze $a$ bis zur oberen Grenze $b$ ; die Summe hat $b - a + 1$ Summanden. Tabellen und Software liefern $P (X \leq k)$ fertig, wir müssen nur die Grenzen richtig übersetzen.

$P (a \leq X \leq b) = i = a \sum b (i n) p^{i} (1 - p)^{n - i}$

Ziehe a und b. Wie viele Summanden hat die Summe, und wie hängt der Wert mit den beiden anderen Chips zusammen?

Voraussetzungen (1)

Die Binomialverteilung

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Im Ratetest (n = 10) sei X die Zahl der richtigen Antworten. Welcher Ausdruck steht für „höchstens 4 richtig“?

● P(X ≤ 4)
○ P(X < 4)
○ P(X = 4)

„Höchstens 4“ schließt die 4 ein: X ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, also P(X ≤ 4). P(X < 4) wäre „weniger als 4“ (bis 3), P(X = 4) „genau 4“.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Im Histogramm sind die Säulen 0 bis 4 eingefärbt. Für welches Ereignis steht die Farbe?

● höchstens 4 richtig
○ weniger als 4 richtig
○ genau 4 richtig

Eingefärbt sind alle Säulen von 0 bis einschließlich 4: „höchstens 4“, P(X ≤ 4). „Weniger als 4“ hörte bei 3 auf, „genau 4“ färbte nur eine Säule.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Im Ratetest (n = 10) sei X die Zahl der richtigen Antworten. Welche Rechnung gibt P(mindestens 5 richtig)?

● 1 − P(X ≤ 4)
○ 1 − P(X ≤ 5)
○ P(X ≤ 5)

„Mindestens 5“ ist das Gegenereignis zu „höchstens 4“: P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4). Bei 1 − P(X ≤ 5) würde man die 5 mit wegwerfen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Im Histogramm sind die Säulen 5 bis 10 eingefärbt. Für welches Ereignis steht die Farbe?

● mindestens 5 richtig
○ mehr als 5 richtig
○ höchstens 5 richtig

Eingefärbt ist ab der Säule 5 alles: „mindestens 5“, P(X ≥ 5). „Mehr als 5“ finge erst bei 6 an, „höchstens 5“ läge links.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Im Ratetest (n = 10) soll P(3 ≤ X ≤ 6) berechnet werden. Welche Rechnung stimmt?

● P(X ≤ 6) − P(X ≤ 2)
○ P(X ≤ 6) − P(X ≤ 3)
○ P(X ≤ 6) + P(X ≤ 2)

Von P(X ≤ 6) zieht man alles unterhalb der 3 ab, also P(X ≤ 2). Mit P(X ≤ 3) würde die Säule bei 3 mit abgezogen; addieren gäbe eine Wahrscheinlichkeit über der von P(X ≤ 6).

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Im Histogramm sind die Säulen 3 bis 6 eingefärbt. Welcher Ausdruck gehört dazu?

● P(3 ≤ X ≤ 6)
○ P(3 < X ≤ 6)
○ P(3 ≤ X < 6)

Eingefärbt sind die Säulen 3, 4, 5 und 6, beide Randsäulen gehören dazu: P(3 ≤ X ≤ 6). Bei 3 < X würde die Säule 3 fehlen, bei X < 6 die Säule 6.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie lautet Σ (i = 3 bis 6) P(X = i) ausgeschrieben?

● P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
○ P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
○ P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

Das Summenzeichen läuft mit i von der unteren Grenze 3 bis zur oberen Grenze 6 und addiert alle Summanden: vier Stück, auch die Randwerte 3 und 6. Ohne die 6 oder ohne die 3 fehlte eine Säule.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für X ~ B(10; 0,25) gilt Σ (i = 0 bis 10) P(X = i) = 1.

✓ Wahr

Die Summe läuft über alle möglichen Werte von X, und diese Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Summe gibt P(X ≥ 7) für X ~ B(n; p)?

● Σ (i = 7 bis n) C(n, i) · pⁱ · (1 − p)ⁿ⁻ⁱ
○ Σ (i = 0 bis 7) C(n, i) · pⁱ · (1 − p)ⁿ⁻ⁱ
○ Σ (i = 0 bis 6) C(n, i) · pⁱ · (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

„Mindestens 7“ läuft von 7 bis zum größten Wert n. Die zweite Summe wäre P(X ≤ 7), die dritte P(X ≤ 6) = P(X < 7).

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Im Ratetest gilt P(X = 0) = 0,0563 und P(X = 1) = 0,1877. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Treffer, P(X ≤ 1)? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.244

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,0563 + 0,1877 ≈ 0,2440.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im Ratetest (n = 10, p = 0,25) gilt P(X ≤ 4) = 0,9219. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 richtige Antworten? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.0781

P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) = 1 − 0,9219 = 0,0781 (etwa 8 %).

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Im Ratetest gilt P(X ≤ 6) = 0,9965 und P(X ≤ 2) = 0,5256. Wie groß ist P(3 ≤ X ≤ 6)? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.4709

P(3 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) − P(X ≤ 2) = 0,9965 − 0,5256 = 0,4709.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

P(X ≤ 4) = Σ (i = 0 bis ___) P(X = i)

✓ Antwort: 4

Bei „höchstens 4“ läuft die Summe bis einschließlich 4.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus der Tabelle des Ratetests (n = 10, p = 0,25): P(X ≤ 2) = 0,5256. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für weniger als 3 richtige Antworten?

✓ Antwort: 0.5256

„Weniger als 3“ heißt höchstens 2: P(X < 3) = P(X ≤ 2) = 0,5256. Wer P(X ≤ 3) nimmt, zählt die 3 fälschlich mit.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

In einer Lieferung ist jede Schraube mit p = 0,1 defekt. Unter 20 Schrauben gilt P(X ≤ 2) = 0,6769. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 defekte? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.3231

P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − 0,6769 = 0,3231.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Test mit 10 Fragen (je 4 Antworten) gilt mit mindestens 5 richtigen Antworten als bestanden. Jemand kreuzt zufällig an (p = 0,25). Gegeben sind P(X = 0) = 0,0563, P(X = 1) = 0,1877, P(X = 2) = 0,2816, P(X = 3) = 0,2503, P(X = 4) = 0,1460. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, den Test durch Raten zu bestehen, und begründe, warum du über das Gegenereignis rechnest. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: X ~ B(10; 0,25). „Bestanden“ heißt X ≥ 5. Gegenereignis: X ≤ 4, denn die Summe P(X ≤ 4) hat nur 5 Summanden, P(X ≥ 5) aber 6. P(X ≤ 4) = 0,0563 + 0,1877 + 0,2816 + 0,2503 + 0,1460 = 0,9219 ≈ 0,9219. P(X ≥ 5) = 1 − 0,9219 = 0,0781 ≈ 7,8 %.

Die Summe der fünf gegebenen Werte ist 0,9219, das Gegenereignis „höchstens 4“ ist also fast sicher; Bestehen durch Raten hat nur etwa 7,8 %.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Im Ratetest gilt P(X ≤ 4) = 0,9219 und P(X ≤ 1) = 0,2440. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 und höchstens 4 richtige Antworten? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.6779

P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 1) = 0,9219 − 0,2440 = 0,6779.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Berechne Σ (i = 8 bis 10) C(10, i) · 0,25ⁱ · 0,75¹⁰⁻ⁱ. (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.0004

i = 8: 45 · 0,25⁸ · 0,75² ≈ 0,000386; i = 9: 10 · 0,25⁹ · 0,75 ≈ 0,000029; i = 10: 0,25¹⁰ ≈ 0,0000010. Summe ≈ 0,0004.