Parameter und Histogramm
Das Histogramm gehört zu X ~ B(10; p). Welches p passt?
ErklÀrung: Der Gipfel steht bei k = 8 = n · p, also ist p = 0,8. Bei p = 0,2 lÀge er bei 2, bei p = 0,5 in der Mitte bei 5 (und das Histogramm wÀre symmetrisch).
FĂŒr X ~ B(10; 0,5) ist das Histogramm symmetrisch zur Mitte k = 5, fĂŒr X ~ B(10; 0,3) ist es das nicht.
ErklĂ€rung: Bei p = 0,5 haben Treffer und Niete dieselbe Wahrscheinlichkeit, P(X = k) = P(X = 10 â k). Bei p = 0,3 liegt der Gipfel bei 3 und der lange AuslĂ€ufer rechts: P(X = 2) â 0,233, aber P(X = 8) â 0,0014.
FĂŒr X ~ B(10; 0,1): Bei welcher Trefferzahl steht die höchste SĂ€ule?
ErklĂ€rung: Der Gipfel liegt in der NĂ€he von n · p = 1: P(X = 0) â 0,349, P(X = 1) â 0,387, P(X = 2) â 0,194. Die Gipfel bei k = 5 oder k = 9 gehörten zu p = 0,5 bzw. p = 0,9.
FĂŒr X ~ B(20; 0,3): Bei welcher Trefferzahl k steht die höchste SĂ€ule?
ErklĂ€rung: Der Gipfel liegt bei n · p = 20 · 0,3 = 6; nachgerechnet ist P(X = 6) â 0,1916 gröĂer als P(X = 5) â 0,1789 und P(X = 7) â 0,1643.
Ein Histogramm mit n = 20 hat seine höchste SÀule bei k = 15. Welches p ist wahrscheinlich? (Dezimalzahl, auf zwei Dezimalen)
ErklÀrung: Der Gipfel steht bei n · p = 15, also p = 15 : 20 = 0,75.
Beschreibe, wie sich das Histogramm der Trefferzahl bei n = 10 fĂŒr p = 0,1, p = 0,5 und p = 0,9 unterscheidet. Gib jeweils den Erwartungswert n · p an, nenne die Lage des Gipfels und ob das Histogramm symmetrisch ist; skizziere die drei Histogramme grob.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Der Gipfel folgt dem Erwartungswert n · p (1, 5, 9); nur bei p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch, p = 0,1 und p = 0,9 sind Spiegelbilder voneinander.
Das Histogramm gehört zu X ~ B(n; 0,5). Welches n passt?
ErklĂ€rung: Der Gipfel steht bei n · p = n · 0,5 = 15, also ist n = 30. Bei n = 15 stĂŒnde er bei 7 oder 8, bei n = 60 bei 30.
Bei p = 0,5 wird n von 10 auf 40 vervierfacht. Wie Ă€ndert sich die Standardabweichung Ï?
ErklĂ€rung: Ï = â(n · 0,25): fĂŒr n = 10 ist Ï â 1,58, fĂŒr n = 40 ist Ï = â10 â 3,16. Wegen der Wurzel wĂ€chst Ï nur mit ân: vier mal so viele Versuche, doppelte Streuung.
Bei p = 0,5 ist das Histogramm fĂŒr n = 100 schmaler als fĂŒr n = 10, weil mehr Versuche ein genaueres Ergebnis liefern.
ErklĂ€rung: In absoluten Trefferzahlen k wird das Histogramm breiter: Ï = 5 bei n = 100, aber nur Ï â 1,58 bei n = 10. Schmaler wird es erst, wenn man den Anteil k/n auftrĂ€gt: Ï/n sinkt von 0,158 auf 0,05.
FĂŒr p = 0,3 wird n von 20 auf 40 verdoppelt. Bei welcher Trefferzahl liegt der Gipfel jetzt?
ErklÀrung: n · p = 40 · 0,3 = 12; vorher lag der Gipfel bei 20 · 0,3 = 6. Er wandert mit n nach rechts.
FĂŒr p = 0,5 wird n von 100 auf 400 vervierfacht. Wie groĂ ist Ï fĂŒr n = 400?
ErklĂ€rung: Ï = â(400 · 0,5 · 0,5) = â100 = 10; fĂŒr n = 100 war Ï = 5. Vierfaches n verdoppelt Ï.
FĂŒr p = 0,5 soll Ï genau 6 betragen. Wie groĂ muss n sein?
ErklĂ€rung: ÏÂČ = n · 0,25 = 36 ergibt n = 144. Probe: â(144 · 0,25) = â36 = 6.
Der Gipfel von B(10; 0,3) steht bei k = 3. Bei welchem k steht der Gipfel von B(10; 0,7)?
ErklĂ€rung: Aus Treffern werden Nieten und umgekehrt: Der Gipfel von B(10; 0,7) liegt bei n · p = 7 = 10 â 3, das Histogramm ist das Spiegelbild von B(10; 0,3).
FĂŒr B(10; 0,2) gilt P(X = 2) = 0,302. Dann ist auch P(X = 8) = 0,302 fĂŒr B(10; 0,8).
ErklĂ€rung: B(10; 0,8) ist das Spiegelbild von B(10; 0,2): P(X = 8; p = 0,8) = P(X = 2; p = 0,2) = C(10, 2) · 0,2ÂČ Â· 0,8âž â 0,3020.
Das Histogramm gehört zu p = 0,15. Es wird an der senkrechten Achse bei k = 5 gespiegelt. Zu welchem p gehört das Spiegelbild?
ErklĂ€rung: Spiegeln an k = n/2 vertauscht k mit n â k, also Treffer mit Nieten: aus p wird 1 â p = 0,85. Der Gipfel wandert von k = 1 nach k = 9.
FĂŒr B(10; 0,3) gilt P(X = 3) = 0,2668. Wie groĂ ist P(X = 7) fĂŒr B(10; 0,7)? (vier Dezimalen)
ErklÀrung: P(X = 7; p = 0,7) = P(X = 3; p = 0,3): dieselben 3 Nieten und 7 Treffer, nur mit vertauschten Rollen.
FĂŒr B(10; 0,3) ist P(X †3) = 0,6496. Wie groĂ ist P(X â„ 7) fĂŒr B(10; 0,7)? (vier Dezimalen)
ErklÀrung: X ℠7 bei p = 0,7 bedeutet: mindestens 7 Treffer, also höchstens 3 Nieten. Die Nieten sind B(10; 0,3)-verteilt, P(Y †3) = 0,6496.
Ein SchĂŒtze trifft mit p = 0,8, er schieĂt 10-mal. Eine Tabelle liefert nur Werte fĂŒr p †0,5; dort steht fĂŒr B(10; 0,2): P(X = 0) = 0,1074 und P(X = 1) = 0,2684. Bestimme damit P(mindestens 9 Treffer) und begrĂŒnde die Umrechnung, indem du Treffer und Niete vertauschst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Wer Treffer und Niete vertauscht, macht aus B(10; 0,8) die Verteilung B(10; 0,2): P(X ℠9) = P(Y †1) = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758.