Parameter und Histogramm

Parameters and histogram

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

WahrscheinlichkeitBinomialverteilungHistogramm

Der Gipfel des Histogramms von B(n; p) liegt bei n · p: für p < 0,5 links, für p = 0,5 in der Mitte und symmetrisch, für p > 0,5 rechts. Wächst n bei festem p, wandert der Gipfel nach rechts, und das Histogramm wird in Trefferzahlen breiter und niedriger, weil σ wie √n wächst. B(n; 1 − p) ist das Spiegelbild von B(n; p). Räumt aus: „größeres n heißt schmaler“, „kleines p heißt Gipfel rechts“ und „gleicher Gipfel heißt gleiche Verteilung“. Bereitet die Fehler 2. Art im Signifikanztest (zwei Verteilungen im Vergleich) und die Normalverteilung vor.

Die Wirkung von p

Wir halten $n = 10$ fest und ändern $p$ . Der Gipfel des Histogramms folgt dem Erwartungswert $n \cdot p$ : Für $p < 0, 5$ liegt er links und der lange Ausläufer rechts, für $p = 0, 5$ in der Mitte, und das Histogramm ist symmetrisch, für $p > 0, 5$ liegt er rechts. Bei $p = 0, 1$ steht er bei $k = 1$ , bei $p = 0, 9$ bei $k = 9$ .

Schalte das Spiegelbild ein: Die orangefarbenen Säulen gehören zu $1 - p$ . Treffer und Niete tauschen die Rollen, deshalb ist $P (X = k)$ bei $p$ gleich $P (X = n - k)$ bei $1 - p$ : Das Histogramm wird an $k = n /2$ gespiegelt.

Verschiebe p und schalte das Spiegelbild ein. Bei welchem p fallen beide Histogramme zusammen?

Die Wirkung von n

Nun bleibt $p = 0, 5$ , und $n$ wächst. Der Gipfel bei $n /2$ wandert nach rechts, das Histogramm wird breiter und die höchste Säule niedriger: $σ = n \cdot p \cdot (1 - p)$ wächst mit $n$ , aber nur wie $n$ : Vervierfacht man $n$ von 25 auf 100, verdoppelt sich $σ$ von 2,5 auf 5.

„Mehr Versuche, also schmaler“ stimmt nur für den Anteil $k / n$ : Er streut mit $σ / n$ immer weniger. In Trefferzahlen $k$ gilt das Gegenteil. Zwei Verteilungen mit verschiedenem $p$ überlappen sich bei gleichem $n$ nur teilweise; genau diesen Überlapp braucht später der Signifikanztest.

Erhöhe n. Wohin wandert die Marke μ, und wie verändert sich die höchste Säule?

Voraussetzungen (1)

Erwartungswert und Streuung

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Das Histogramm gehört zu X ~ B(10; p). Welches p passt?

● 0,8
○ 0,2
○ 0,5

Der Gipfel steht bei k = 8 = n · p, also ist p = 0,8. Bei p = 0,2 läge er bei 2, bei p = 0,5 in der Mitte bei 5 (und das Histogramm wäre symmetrisch).

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für X ~ B(10; 0,5) ist das Histogramm symmetrisch zur Mitte k = 5, für X ~ B(10; 0,3) ist es das nicht.

✓ Wahr

Bei p = 0,5 haben Treffer und Niete dieselbe Wahrscheinlichkeit, P(X = k) = P(X = 10 − k). Bei p = 0,3 liegt der Gipfel bei 3 und der lange Ausläufer rechts: P(X = 2) ≈ 0,233, aber P(X = 8) ≈ 0,0014.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Für X ~ B(10; 0,1): Bei welcher Trefferzahl steht die höchste Säule?

● k = 1
○ k = 5
○ k = 9

Der Gipfel liegt in der Nähe von n · p = 1: P(X = 0) ≈ 0,349, P(X = 1) ≈ 0,387, P(X = 2) ≈ 0,194. Die Gipfel bei k = 5 oder k = 9 gehörten zu p = 0,5 bzw. p = 0,9.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Das Histogramm gehört zu X ~ B(n; 0,5). Welches n passt?

● 30
○ 15
○ 60

Der Gipfel steht bei n · p = n · 0,5 = 15, also ist n = 30. Bei n = 15 stünde er bei 7 oder 8, bei n = 60 bei 30.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Bei p = 0,5 wird n von 10 auf 40 vervierfacht. Wie ändert sich die Standardabweichung σ?

● Sie verdoppelt sich (1,58 → 3,16).
○ Sie vervierfacht sich (1,58 → 6,32).
○ Sie halbiert sich (1,58 → 0,79).

σ = √(n · 0,25): für n = 10 ist σ ≈ 1,58, für n = 40 ist σ = √10 ≈ 3,16. Wegen der Wurzel wächst σ nur mit √n: vier mal so viele Versuche, doppelte Streuung.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Bei p = 0,5 ist das Histogramm für n = 100 schmaler als für n = 10, weil mehr Versuche ein genaueres Ergebnis liefern.

✓ Falsch

In absoluten Trefferzahlen k wird das Histogramm breiter: σ = 5 bei n = 100, aber nur σ ≈ 1,58 bei n = 10. Schmaler wird es erst, wenn man den Anteil k/n aufträgt: σ/n sinkt von 0,158 auf 0,05.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Gipfel von B(10; 0,3) steht bei k = 3. Bei welchem k steht der Gipfel von B(10; 0,7)?

● k = 7
○ k = 3
○ k = 5

Aus Treffern werden Nieten und umgekehrt: Der Gipfel von B(10; 0,7) liegt bei n · p = 7 = 10 − 3, das Histogramm ist das Spiegelbild von B(10; 0,3).

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für B(10; 0,2) gilt P(X = 2) = 0,302. Dann ist auch P(X = 8) = 0,302 für B(10; 0,8).

✓ Wahr

B(10; 0,8) ist das Spiegelbild von B(10; 0,2): P(X = 8; p = 0,8) = P(X = 2; p = 0,2) = C(10, 2) · 0,2² · 0,8⁸ ≈ 0,3020.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Das Histogramm gehört zu p = 0,15. Es wird an der senkrechten Achse bei k = 5 gespiegelt. Zu welchem p gehört das Spiegelbild?

● 0,85
○ 0,15
○ 0,5

Spiegeln an k = n/2 vertauscht k mit n − k, also Treffer mit Nieten: aus p wird 1 − p = 0,85. Der Gipfel wandert von k = 1 nach k = 9.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für X ~ B(20; 0,3): Bei welcher Trefferzahl k steht die höchste Säule?

✓ Antwort: 6

Der Gipfel liegt bei n · p = 20 · 0,3 = 6; nachgerechnet ist P(X = 6) ≈ 0,1916 größer als P(X = 5) ≈ 0,1789 und P(X = 7) ≈ 0,1643.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für p = 0,3 wird n von 20 auf 40 verdoppelt. Bei welcher Trefferzahl liegt der Gipfel jetzt?

✓ Antwort: 12

n · p = 40 · 0,3 = 12; vorher lag der Gipfel bei 20 · 0,3 = 6. Er wandert mit n nach rechts.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für B(10; 0,3) gilt P(X = 3) = 0,2668. Wie groß ist P(X = 7) für B(10; 0,7)? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.2668

P(X = 7; p = 0,7) = P(X = 3; p = 0,3): dieselben 3 Nieten und 7 Treffer, nur mit vertauschten Rollen.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Histogramm mit n = 20 hat seine höchste Säule bei k = 15. Welches p ist wahrscheinlich? (Dezimalzahl, auf zwei Dezimalen)

✓ Antwort: 0.75

Der Gipfel steht bei n · p = 15, also p = 15 : 20 = 0,75.

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Beschreibe, wie sich das Histogramm der Trefferzahl bei n = 10 für p = 0,1, p = 0,5 und p = 0,9 unterscheidet. Gib jeweils den Erwartungswert n · p an, nenne die Lage des Gipfels und ob das Histogramm symmetrisch ist; skizziere die drei Histogramme grob. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: p = 0,1: E = 1, Gipfel bei k = 1 (k = 0 fast gleich hoch), steil links, langer Ausläufer nach rechts (rechtsschief). p = 0,5: E = 5, Gipfel bei k = 5, symmetrisch. p = 0,9: E = 9, Gipfel bei k = 9, langer Ausläufer nach links (spiegelbildlich zu p = 0,1).

Der Gipfel folgt dem Erwartungswert n · p (1, 5, 9); nur bei p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch, p = 0,1 und p = 0,9 sind Spiegelbilder voneinander.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für p = 0,5 wird n von 100 auf 400 vervierfacht. Wie groß ist σ für n = 400?

✓ Antwort: 10

σ = √(400 · 0,5 · 0,5) = √100 = 10; für n = 100 war σ = 5. Vierfaches n verdoppelt σ.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für p = 0,5 soll σ genau 6 betragen. Wie groß muss n sein?

✓ Antwort: 144

σ² = n · 0,25 = 36 ergibt n = 144. Probe: √(144 · 0,25) = √36 = 6.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Für B(10; 0,3) ist P(X ≤ 3) = 0,6496. Wie groß ist P(X ≥ 7) für B(10; 0,7)? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.6496

X ≥ 7 bei p = 0,7 bedeutet: mindestens 7 Treffer, also höchstens 3 Nieten. Die Nieten sind B(10; 0,3)-verteilt, P(Y ≤ 3) = 0,6496.

KI-bewertete Rechnung #6 240s ▶ Testen

Ein Schütze trifft mit p = 0,8, er schießt 10-mal. Eine Tabelle liefert nur Werte für p ≤ 0,5; dort steht für B(10; 0,2): P(X = 0) = 0,1074 und P(X = 1) = 0,2684. Bestimme damit P(mindestens 9 Treffer) und begründe die Umrechnung, indem du Treffer und Niete vertauschst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Mindestens 9 Treffer heißt höchstens 1 Niete. Die Zahl der Nieten ist B(10; 0,2)-verteilt (Niete hat die Wahrscheinlichkeit 0,2). P(mindestens 9 Treffer) = P(Y ≤ 1) = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758.

Wer Treffer und Niete vertauscht, macht aus B(10; 0,8) die Verteilung B(10; 0,2): P(X ≥ 9) = P(Y ≤ 1) = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758.