Urnenmodelle
Ein Zahlenschloss hat 3 RĂ€dchen mit je den Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Einstellungen gibt es?
ErklĂ€rung: Jedes RĂ€dchen hat unabhĂ€ngig von den anderen alle 10 Ziffern zur Wahl, wie beim Ziehen mit ZurĂŒcklegen: 10 · 10 · 10 = 10Âł = 1000. Die 30 addiert die Möglichkeiten, die 720 zieht ohne ZurĂŒcklegen.
Eine MĂŒnze wird 5-mal geworfen. Es gibt 2 · 5 = 10 mögliche Wurffolgen.
ErklÀrung: Bei jedem Wurf bleiben beide AusgÀnge möglich, die Möglichkeiten multiplizieren sich: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2┠= 32 Wurffolgen. Mit 2 · 5 wird der Exponent mit dem Faktor verwechselt.
Der Baum zeigt zwei ZĂŒge mit ZurĂŒcklegen aus einer Urne mit drei Kugeln. Wie viele Pfade hĂ€tte der Baum bei drei ZĂŒgen?
ErklĂ€rung: An jedem Knoten gibt es wieder alle drei Ăste. Bei drei ZĂŒgen sind es 3 · 3 · 3 = 3Âł = 27 Pfade. Die 9 sind die Pfade bei zwei ZĂŒgen, 18 entstĂŒnde, wenn der dritte Zug nur zwei Ăste hĂ€tte.
Ein Test hat 6 Fragen mit je 3 Antwortmöglichkeiten. Wie viele verschiedene Ankreuzmuster gibt es?
ErklÀrung: 6 Fragen mit je 3 Möglichkeiten: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3ⶠ= 729.
Ein Passwort besteht aus 4 Kleinbuchstaben (26 Buchstaben, Wiederholungen erlaubt). Wie viele Passwörter gibt es?
ErklÀrung: Vier Stellen mit je 26 Möglichkeiten: 26⎠= 456 976.
Ein Test hat 8 Fragen mit je 4 Antworten, genau eine ist richtig. Eine SchĂŒlerin kreuzt rein zufĂ€llig an. Beschreibe das passende Urnenmodell, bestimme die Zahl der möglichen Ankreuzmuster und die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau das Muster des LösungsschlĂŒssels trifft.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Jede der 8 Fragen ist ein Zug, jede Antwort eine Kugel; weil alle vier Antworten immer wieder wĂ€hlbar sind, wird zurĂŒckgelegt. Das ZĂ€hlprinzip gibt 4âž = 65 536 Muster, genau eines davon ist der SchlĂŒssel.
Bei einem Lauf mit 8 LÀufern werden Gold, Silber und Bronze vergeben. Wie viele verschiedene Podeste sind möglich?
ErklĂ€rung: Wer Gold hat, kann nicht auch Silber bekommen: Die Zahl der Möglichkeiten sinkt mit jedem Platz. 8 · 7 · 6 = 336. Die 512 wĂ€ren 8Âł mit ZurĂŒcklegen, 24 addiert statt zu multiplizieren.
Aus 5 Kugeln werden nacheinander 2 ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Es gibt 5 · 4 = 20 geordnete Ergebnisse.
ErklÀrung: Im ersten Zug sind es 5 Möglichkeiten, im zweiten nur noch 4: 5 · 4 = 20.
Der Baum zeigt zwei ZĂŒge ohne ZurĂŒcklegen aus vier Kugeln. Wie viele Pfade hĂ€tte er bei drei ZĂŒgen?
ErklĂ€rung: Nach zwei gezogenen Kugeln sind noch 2 ĂŒbrig: 4 · 3 · 2 = 24 Pfade. 64 = 4Âł hieĂe ZurĂŒcklegen, 12 sind die Pfade bei zwei ZĂŒgen.
Aus einer Urne mit 5 Kugeln werden 3 ohne ZurĂŒcklegen nacheinander gezogen. Wie viele geordnete Ergebnisse gibt es?
ErklÀrung: 5 · 4 · 3 = 60: Bei jedem Zug ist eine Kugel weniger in der Urne.
Ein Verein mit 12 Mitgliedern wĂ€hlt Vorsitzende, Kassenwart und SchriftfĂŒhrer; niemand darf zwei Ămter haben. Wie viele Besetzungen gibt es?
ErklĂ€rung: 12 · 11 · 10 = 1320: FĂŒr jedes Amt bleibt ein Mitglied weniger zur Wahl.
Aus 9 Bewerbern werden nacheinander ein KapitÀn und ein Stellvertreter bestimmt (niemand hat beide Rollen). Beschreibe das Urnenmodell, bestimme die Anzahl der Besetzungen und die Wahrscheinlichkeit, dass Anna KapitÀnin und Ben Stellvertreter wird, wenn alle Besetzungen gleich wahrscheinlich sind.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Im ersten Zug 9 Möglichkeiten, im zweiten 8: 72 geordnete Paare, ein gĂŒnstiges. Laplace: 1/72.
Welche Rechnung zĂ€hlt die möglichen PIN-Codes mit 4 Ziffern, wenn Ziffern sich wiederholen dĂŒrfen?
ErklĂ€rung: Jede Stelle darf wieder jede der 10 Ziffern sein, die Ziffer wird also âzurĂŒckgelegtâ: 10⎠= 10 000 PINs. Die Rechnung 10 · 9 · 8 · 7 setzte voraus, dass jede Ziffer nur einmal vorkommen darf.
FĂŒnf Personen setzen sich auf fĂŒnf nebeneinanderstehende StĂŒhle. Welche Rechnung zĂ€hlt die Sitzordnungen?
ErklĂ€rung: Wer schon sitzt, kommt fĂŒr den nĂ€chsten Stuhl nicht mehr in Frage: Ziehen ohne ZurĂŒcklegen, 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. 5â” = 3125 wĂŒrde erlauben, dass eine Person mehrere StĂŒhle besetzt.
Wer drei Karten nacheinander aus einem Skatblatt mit 32 Karten zieht und sie dabei behÀlt, zÀhlt die geordneten Ergebnisse mit 32 · 32 · 32.
ErklĂ€rung: Behaltene Karten sind aus dem Stapel: Ziehen ohne ZurĂŒcklegen, also 32 · 31 · 30 = 29 760.
Der Baum hat in der ersten Stufe drei Ăste und danach an jedem Knoten zwei. Zu welcher Situation passt er?
ErklÀrung: Wenn die Astzahl von 3 auf 2 sinkt, wird etwas verbraucht: Ein LÀufer mit Gold kann nicht auch Silber bekommen (3 · 2 = 6). Die beiden anderen Situationen behalten in jedem Zug alle Möglichkeiten (3 · 3 bzw. 2 · 2 · 2).
Aus 6 SchĂŒlern werden nacheinander ein Sprecher und eine Vertreterin bestimmt, niemand hat beide Rollen. Wie viele Besetzungen gibt es?
ErklĂ€rung: Ziehen ohne ZurĂŒcklegen: 6 · 5 = 30.
Vier verschiedene BĂŒcher werden nebeneinander ins Regal gestellt, jedes genau einmal. Wie viele Anordnungen gibt es?
ErklĂ€rung: Jedes Buch wird verbraucht: Ziehen ohne ZurĂŒcklegen, 4 · 3 · 2 · 1 = 24.