Urnenmodelle
Urn models
Wie viele geordnete Ergebnisse hat ein Zufallsexperiment, bei dem man nacheinander aus einer Urne zieht? Mit Zurücklegen bleibt die Urne gleich und die Möglichkeiten multiplizieren sich zu nᵏ; ohne Zurücklegen schrumpft sie, und es entsteht n · (n − 1) · … Räumt zwei Verwechslungen aus: n · k statt nᵏ und das Vermischen der beiden Modelle. Die Erkennungsfrage lautet: Darf sich das Gezogene wiederholen? Bereitet den Binomialkoeffizienten (ungeordnete Auswahlen) und die Bernoulli-Kette vor, in der nur das Ziehen mit Zurücklegen die Trefferwahrscheinlichkeit p konstant hält.
Mit Zurücklegen
Eine Urne enthält vier Kugeln mit den Nummern 1 bis 4, wir ziehen zweimal. Legt man die erste Kugel zurück,
ist die Urne vor dem zweiten Zug wieder wie vorher: vier Möglichkeiten im ersten Zug, vier im zweiten, zusammen
Jeder Punkt im Gitter ist ein Ergebnis
Ohne Zurücklegen
Bleibt die gezogene Kugel draußen, wird die Urne kleiner: vier Möglichkeiten im ersten Zug, nur noch drei im zweiten,
zusammen
Der Baum zeigt es für drei Kugeln und drei Züge: erst drei Äste, dann zwei, dann einer, zusammen
Ob man mit oder ohne Zurücklegen zählt, entscheidet eine Frage: Darf sich das Gezogene wiederholen? Zweimal würfeln
darf dieselbe Augenzahl liefern (
Ermöglicht (1)
Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit je den Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Einstellungen gibt es?
Eine Münze wird 5-mal geworfen. Es gibt 2 · 5 = 10 mögliche Wurffolgen.
Der Baum zeigt zwei Züge mit Zurücklegen aus einer Urne mit drei Kugeln. Wie viele Pfade hätte der Baum bei drei Zügen?
Bei einem Lauf mit 8 Läufern werden Gold, Silber und Bronze vergeben. Wie viele verschiedene Podeste sind möglich?
Aus 5 Kugeln werden nacheinander 2 ohne Zurücklegen gezogen. Es gibt 5 · 4 = 20 geordnete Ergebnisse.
Der Baum zeigt zwei Züge ohne Zurücklegen aus vier Kugeln. Wie viele Pfade hätte er bei drei Zügen?
Welche Rechnung zählt die möglichen PIN-Codes mit 4 Ziffern, wenn Ziffern sich wiederholen dürfen?
Fünf Personen setzen sich auf fünf nebeneinanderstehende Stühle. Welche Rechnung zählt die Sitzordnungen?
Wer drei Karten nacheinander aus einem Skatblatt mit 32 Karten zieht und sie dabei behält, zählt die geordneten Ergebnisse mit 32 · 32 · 32.
Der Baum hat in der ersten Stufe drei Äste und danach an jedem Knoten zwei. Zu welcher Situation passt er?
Ein Test hat 6 Fragen mit je 3 Antwortmöglichkeiten. Wie viele verschiedene Ankreuzmuster gibt es?
Aus einer Urne mit 5 Kugeln werden 3 ohne Zurücklegen nacheinander gezogen. Wie viele geordnete Ergebnisse gibt es?
Vier verschiedene Bücher werden nebeneinander ins Regal gestellt, jedes genau einmal. Wie viele Anordnungen gibt es?
Ein Passwort besteht aus 4 Kleinbuchstaben (26 Buchstaben, Wiederholungen erlaubt). Wie viele Passwörter gibt es?
Ein Test hat 8 Fragen mit je 4 Antworten, genau eine ist richtig. Eine Schülerin kreuzt rein zufällig an. Beschreibe das passende Urnenmodell, bestimme die Zahl der möglichen Ankreuzmuster und die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau das Muster des Lösungsschlüssels trifft. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Ein Verein mit 12 Mitgliedern wählt Vorsitzende, Kassenwart und Schriftführer; niemand darf zwei Ämter haben. Wie viele Besetzungen gibt es?
Aus 9 Bewerbern werden nacheinander ein Kapitän und ein Stellvertreter bestimmt (niemand hat beide Rollen). Beschreibe das Urnenmodell, bestimme die Anzahl der Besetzungen und die Wahrscheinlichkeit, dass Anna Kapitänin und Ben Stellvertreter wird, wenn alle Besetzungen gleich wahrscheinlich sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Aus 6 Schülern werden nacheinander ein Sprecher und eine Vertreterin bestimmt, niemand hat beide Rollen. Wie viele Besetzungen gibt es?