Die dritte Formel
Welches Produkt ist eine Summe mal Differenz?
Erklärung: (y + 5)(y − 5): dieselben Summanden y und 5, in einer Klammer Plus, in der anderen Minus. (y + 5)² hat zweimal Plus, (y − 5)² zweimal Minus.
Ein Rechteck ist (2x + 3) lang und (2x − 3) breit. Seine Fläche ist ein Produkt aus Summe und Differenz derselben Zahlen.
Erklärung: Richtig: 2x und 3 kommen in beiden Klammern vor, einmal mit Plus und einmal mit Minus.
(2x + 3)(3x − 2) ist eine Summe mal Differenz derselben Zahlen.
Erklärung: Falsch: In den Klammern stehen 2x und 3x sowie 3 und 2, es sind nicht dieselben Summanden.
Berechne (9 + 2)(9 − 2).
Erklärung: 11 · 7 = 77. Mit der Formel: 9² − 2² = 81 − 4 = 77.
Ein Rechteck ist (x + 4) m lang und (x − 4) m breit. Wie groß ist seine Fläche für x = 10 in m²?
Erklärung: Für x = 10: 14 · 6 = 84 m². Mit der Formel: 10² − 4² = 84.
Multipliziere aus: (x + 5)(x − 5)
Erklärung: x² − 5x + 5x − 25 = x² − 25: die mittleren Glieder heben sich auf. x² + 25 hat das Vorzeichen von 25 falsch, x² − 10x + 25 ist die zweite Formel.
Aus einem Quadrat der Seite a wird oben rechts ein Quadrat der Seite b herausgeschnitten. Die zwei übrigen Teile werden zu einem Rechteck umgelegt. Welche Maße hat es?
Erklärung: Das Rechteck ist a + b breit und a − b hoch; seine Fläche (a + b)(a − b) ist die des Quadrats ohne Ecke: a² − b². Die anderen Maße ergeben eine andere Fläche.
(3y + 4)(3y − 4) = 9y² − 16
Erklärung: Richtig: (3y)² − 4² = 9y² − 16, die mittleren Glieder heben sich auf.
Es gilt (x + 9)(x − 9) = x² − c. Wie groß ist c?
Erklärung: c = 9² = 81.
Es gilt (5x + 2)(5x − 2) = k · x² − 4. Wie groß ist k?
Erklärung: (5x)² = 25x², also k = 25. Nicht 5: auch der Koeffizient wird quadriert.
Wie rechnest du 51 · 49 geschickt?
Erklärung: 51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499. 50² + 1² = 2501 hat das falsche Vorzeichen, die andere Rechnung ist (50 − 1)² = 2401.
99 · 101 = 100² + 1²
Erklärung: Falsch: (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 9999. Mit Plus wären es 10 001.
Welches Produkt ist gleich 60² − 2²?
Erklärung: 62 · 58 = (60 + 2)(60 − 2) = 60² − 2² = 3596. 62 · 62 = 3844 ist (60 + 2)², 60 · 58 = 3480 hat nur eine Klammer verändert.
Ergänze: 63 · 57 = 60² − ___²
Erklärung: 63 · 57 = (60 + 3)(60 − 3) = 60² − 3².
Berechne 98 · 102 im Kopf.
Erklärung: (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9996.
Zeige durch Ausmultiplizieren (jeder mit jedem), dass (a + b)(a − b) = a² − b² gilt. Berechne dann 47 · 53 ohne Taschenrechner und schreibe auf, welche Zahlen du als a und b wählst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Jeder mit jedem: a² − ab + ab − b² = a² − b². 47 · 53 = 50² − 3² = 2491.
(x + 7)(x − 7) = x² − □. Was gehört in die Lücke?
Das Mittelglied fällt weg; es bleibt b² = 7².
Dritte Formel: x² − 7² = x² − 49.
(x + 8)(x − 8) = x² − □. Was gehört in die Lücke?
Das Mittelglied fällt weg; es bleibt b² = 8².
Dritte Formel: x² − 8² = x² − 64.
Rechne mit der dritten Formel: 21 · 19 = (20 + 1)(20 − 1) = □
Bei (a + b)(a − b) wird b² abgezogen.
20² − 1² = 400 − 1 = 399.
Rechne mit der dritten Formel: 32 · 28 = (30 + 2)(30 − 2) = □
Bei (a + b)(a − b) wird b² abgezogen.
30² − 2² = 900 − 4 = 896.
Ist (x + 2)(x − 2) = x² − 4?
Ja: +2x und −2x heben sich auf. Es bleibt x² − 4.
Ist (y + 3)(y − 3) = y² − 9?
Ja: +3y und −3y heben sich auf. Es bleibt y² − 9.