Die dritte Formel

The third formula

Mathematik Klasse 7 22 Aufgaben
AlgebraBinomische FormelnTerme

Die dritte binomische Formel (a + b)(a − b) = a² − b² gilt für ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz derselben Zahlen: Die gemischten Glieder −ab und +ab heben sich auf. Das Umlegen einer Ecke im Quadrat macht aus a² − b² ein Rechteck. Der Abschnitt räumt aus, dass das Ergebnis a² + b² sei oder ein mittleres Glied habe, und nutzt die Formel zum Kopfrechnen (51 · 49 = 50² − 1). Er bereitet die Formelwahl, das Faktorisieren von x² − 49 und das Rationalmachen von Nennern vor.

Summe mal Differenz

Manchmal stehen in beiden Klammern dieselben Zahlen, in der einen mit Plus und in der anderen mit Minus: (a + b)(a − b). Jeder mit jedem ergibt a² − ab + ab − b². Die beiden gemischten Glieder heben sich auf. Das ist die dritte binomische Formel:

Das Ergebnis hat kein mittleres Glied, und die 25 steht mit Minus: (x + 5)(x − 5) = x² − 25. Die Zahlen sind gleich, nur das Vorzeichen wechselt von Klammer zu Klammer, und alles Gemischte fällt weg.

(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b²: die Summanden −ab und +ab heben sich auf, übrig bleibt a² − b²(a + b)(a − b)= a² − ab + ab − b²= 0= a² − b²
Bei Summe mal Differenz heben sich −ab und +ab auf.

Rechteck und Kopfrechnen

Schneide aus dem Quadrat a² oben rechts die Ecke b² heraus. Die zwei übrigen Teile A und B legst du zu einem Rechteck zusammen: Es ist a + b breit und a − b hoch. Die Fläche a² − b² und das Produkt (a + b)(a − b) sind also dasselbe. Zur Probe für a = 5 und b = 2: 25 − 4 = 21 und 7 · 3 = 21.

Wähle «Rechteck» und verändere a und b.

51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2499. Beide Zahlen liegen gleich weit von der Mitte 50 entfernt. Ebenso ist 98 · 102 = 100² − 2² = 9996. Bei (2x + 3)(2x − 3) wird auch der Koeffizient quadriert: 4x² − 9. So wird aus einer schweren Kopfaufgabe eine leichte.

Ermöglicht (2)

Die richtige Formel wählen
Klasse 7
›
Flächen deuten
Klasse 7
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welches Produkt ist eine Summe mal Differenz?

  • ● (y + 5)(y − 5)
  • ○ (y + 5)²
  • ○ (y − 5)²
(y + 5)(y − 5): dieselben Summanden y und 5, in einer Klammer Plus, in der anderen Minus. (y + 5)² hat zweimal Plus, (y − 5)² zweimal Minus.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Rechteck ist (2x + 3) lang und (2x − 3) breit. Seine Fläche ist ein Produkt aus Summe und Differenz derselben Zahlen.

✓ Wahr
Richtig: 2x und 3 kommen in beiden Klammern vor, einmal mit Plus und einmal mit Minus.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

(2x + 3)(3x − 2) ist eine Summe mal Differenz derselben Zahlen.

✓ Falsch
Falsch: In den Klammern stehen 2x und 3x sowie 3 und 2, es sind nicht dieselben Summanden.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Multipliziere aus: (x + 5)(x − 5)

  • ● x² − 25
  • ○ x² + 25
  • ○ x² − 10x + 25
x² − 5x + 5x − 25 = x² − 25: die mittleren Glieder heben sich auf. x² + 25 hat das Vorzeichen von 25 falsch, x² − 10x + 25 ist die zweite Formel.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Aus einem Quadrat der Seite a wird oben rechts ein Quadrat der Seite b herausgeschnitten. Die zwei übrigen Teile werden zu einem Rechteck umgelegt. Welche Maße hat es?

  • ● a + b und a − b
  • ○ a und a − b
  • ○ a − b und a − b
Das Rechteck ist a + b breit und a − b hoch; seine Fläche (a + b)(a − b) ist die des Quadrats ohne Ecke: a² − b². Die anderen Maße ergeben eine andere Fläche.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

(3y + 4)(3y − 4) = 9y² − 16

✓ Wahr
Richtig: (3y)² − 4² = 9y² − 16, die mittleren Glieder heben sich auf.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie rechnest du 51 · 49 geschickt?

  • ● 50² − 1²
  • ○ 50² + 1²
  • ○ 50² − 2 · 50 · 1 + 1²
51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499. 50² + 1² = 2501 hat das falsche Vorzeichen, die andere Rechnung ist (50 − 1)² = 2401.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

99 · 101 = 100² + 1²

✓ Falsch
Falsch: (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 9999. Mit Plus wären es 10 001.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welches Produkt ist gleich 60² − 2²?

  • ● 62 · 58
  • ○ 62 · 62
  • ○ 60 · 58
62 · 58 = (60 + 2)(60 − 2) = 60² − 2² = 3596. 62 · 62 = 3844 ist (60 + 2)², 60 · 58 = 3480 hat nur eine Klammer verändert.
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Ist (x + 2)(x − 2) = x² − 4?

✓ Ja
Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Ist (y + 3)(y − 3) = y² − 9?

✓ Ja
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne (9 + 2)(9 − 2).

✓ Antwort: 77
11 · 7 = 77. Mit der Formel: 9² − 2² = 81 − 4 = 77.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Es gilt (x + 9)(x − 9) = x² − c. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 81
c = 9² = 81.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 63 · 57 = 60² − ___²

✓ Antwort: 3
63 · 57 = (60 + 3)(60 − 3) = 60² − 3².
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

(x + 7)(x − 7) = x² − □. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 49
Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

(x + 8)(x − 8) = x² − □. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 64
Zahleneingabe #6 35s ▶ Testen

Rechne mit der dritten Formel: 21 · 19 = (20 + 1)(20 − 1) = □

✓ Antwort: 399
Zahleneingabe #7 35s ▶ Testen

Rechne mit der dritten Formel: 32 · 28 = (30 + 2)(30 − 2) = □

✓ Antwort: 896
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Rechteck ist (x + 4) m lang und (x − 4) m breit. Wie groß ist seine Fläche für x = 10 in m²?

✓ Antwort: 84
Für x = 10: 14 · 6 = 84 m². Mit der Formel: 10² − 4² = 84.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Es gilt (5x + 2)(5x − 2) = k · x² − 4. Wie groß ist k?

✓ Antwort: 25
(5x)² = 25x², also k = 25. Nicht 5: auch der Koeffizient wird quadriert.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 98 · 102 im Kopf.

✓ Antwort: 9996
(100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9996.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeige durch Ausmultiplizieren (jeder mit jedem), dass (a + b)(a − b) = a² − b² gilt. Berechne dann 47 · 53 ohne Taschenrechner und schreibe auf, welche Zahlen du als a und b wählst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (a + b)(a − b) = a · a − a · b + b · a − b · b = a² − ab + ab − b² = a² − b². 47 · 53 = (50 − 3)(50 + 3) mit a = 50 und b = 3: 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.
Jeder mit jedem: a² − ab + ab − b² = a² − b². 47 · 53 = 50² − 3² = 2491.