Flächen deuten
Ein Rechteck ist 4 cm mal 6 cm groß (Fläche 24 cm²). Beide Seiten werden verdoppelt. Wie groß ist die neue Fläche in cm²?
Erklärung: Die neuen Seiten sind 8 cm und 12 cm: 8 · 12 = 96 cm², also viermal so viel. 48 rechnet, als würde die Fläche nur verdoppelt, 20 ist der Umfang des alten Rechtecks.
Ein Quadrat mit der Seite 2a hat die Fläche 2a².
Erklärung: Falsch: (2a)² = 2a · 2a = 4a². Auch die 2 wird quadriert.
Das große Rechteck entsteht aus dem kleinen, indem beide Seiten verdoppelt werden. Wie viele kleine Rechtecke passen in das große?
Erklärung: Doppelt so breit und doppelt so hoch: 2 · 2 = 4 kleine Rechtecke. 2 zählt nur eine Richtung, 8 rechnet 2 · 2 · 2.
Es gilt (3a)² = k · a². Wie groß ist k?
Erklärung: (3a)² = 3a · 3a = 9a², also k = 9.
Ein Rechteck hat die Fläche 15 m². Beide Seiten werden verdoppelt. Wie groß ist die neue Fläche in m²?
Erklärung: Die Fläche wächst mit 2 · 2 = 4: 15 · 4 = 60 m².
Ein Quadrat mit der Seite 6 cm wird 1 cm länger (Seite 7 cm). Um wie viel wächst die Fläche?
Erklärung: 7² − 6² = 49 − 36 = 13 cm² (= 2 · 6 + 1). 12 cm² vergisst die Ecke 1 · 1, 1 cm² schließt aus der Seite auf die Fläche.
Die Seite eines Quadrats wächst von a auf a + 1. Welcher Term gibt den Flächenzuwachs an?
Erklärung: (a + 1)² − a² = a² + 2a + 1 − a² = 2a + 1: zwei Streifen a und die Ecke 1. a + 1 ist der Zuwachs der Seite, 2a vergisst die Ecke.
Ein Quadrat mit der Seite 10 m wird auf die Seite 11 m vergrößert. Die Fläche wächst um 21 m².
Erklärung: Richtig: 11² − 10² = 121 − 100 = 21 m² (= 2 · 10 + 1).
Ein Quadrat hat die Seite 9. Um wie viel wächst die Fläche, wenn die Seite auf 10 wächst?
Erklärung: 10² − 9² = 100 − 81 = 19 (= 2 · 9 + 1).
Ein quadratisches Beet hat die Seite 8 m. Rundherum wird ein 1 m breiter Weg angelegt. Wie groß ist die Fläche des Weges in m²?
Erklärung: Beet und Weg zusammen sind 10 m · 10 m = 100 m², das Beet 64 m²: der Weg hat 36 m². Mit dem Term: (a + 2)² − a² = 4a + 4 = 36.
Ein Quadrat mit der Seite 10 m wird zum Rechteck: eine Seite 2 m länger, die andere 2 m kürzer. Wie groß ist die Fläche danach?
Erklärung: Das Rechteck ist 12 m mal 8 m groß: 96 m². Es ist um 2² = 4 m² kleiner als das Quadrat (100 m²). „Gleich groß“ und „größer“ sind falsch.
Ein Quadrat wird zu einem Rechteck: eine Seite 3 cm länger, die andere 3 cm kürzer. Die Fläche bleibt gleich.
Erklärung: Falsch: (a + 3)(a − 3) = a² − 9. Das Rechteck ist immer um 9 cm² kleiner als das Quadrat.
Ein Quadrat hat die Seite 20 m. Eine Seite wird um 5 m länger, die andere um 5 m kürzer. Um wie viel ist die Rechteckfläche kleiner als die Quadratfläche?
Erklärung: 25 · 15 = 375 m², das Quadrat hatte 400 m²: der Unterschied ist 25 m² = 5². 10 m² und 5 m² verwechseln d² mit 2d und d.
Ergänze: (a + 4)(a − 4) = a² − ___
Erklärung: 4² = 16: das Rechteck ist um 16 kleiner als das Quadrat a².
Ein Quadrat mit der Seite 25 m wird zum Rechteck: eine Seite 5 m länger, die andere 5 m kürzer. Wie groß ist die Rechteckfläche in m²?
Erklärung: 30 · 20 = 600 m². Mit der Formel: 25² − 5² = 625 − 25 = 600.
Ein quadratischer Platz hat die Seite a. Er wird zu einem Rechteck umgebaut: Die Länge wird um 5 m größer, die Breite um 5 m kleiner. Stelle einen Term für die Fläche des Rechtecks auf, forme mit der dritten binomischen Formel um und vergleiche mit der Fläche a² für a = 30. Ist das Rechteck größer oder kleiner? Begründe.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Rechteck: (a + 5)(a − 5) = a² − 25. Für a = 30: 875 m² statt 900 m², also um 25 m² kleiner.