Quadrat einer Summe
Wie groß ist (3 + 4)²?
Erklärung: (3 + 4)² = 7² = 49. 25 ist 3² + 4² (die Summanden einzeln quadriert), 14 ist 2 · (3 + 4) — quadrieren heißt nicht verdoppeln.
(5 + 2)² = 5² + 2²
Erklärung: Falsch: (5 + 2)² = 7² = 49, aber 5² + 2² = 29. Das Quadrat gehört zur ganzen Klammer.
Für a = 6 und b = 2 hat einer der drei Terme den Wert 64. Welcher?
Erklärung: (6 + 2)² = 8² = 64. a² + b² = 40 (die Summanden einzeln quadriert) und 2(a + b) = 16 (verdoppelt statt quadriert): nur das Quadrat der ganzen Summe trifft 64.
Berechne (a + b)² für a = 8 und b = 5.
Erklärung: (8 + 5)² = 13² = 169.
Ein quadratischer Platz ist (60 + 5) m lang und ebenso breit. Wie groß ist seine Fläche in m²?
Erklärung: Die Seite ist 65 m lang: 65² = 4225 m². Wer 60² + 5² = 3625 rechnet, quadriert die Summanden einzeln und lässt Fläche weg.
Das Quadrat hat die Seitenlänge a + b und ist in vier Teile zerlegt. Welche Flächen sind es?
Erklärung: Zwei Quadrate (a² und b²) und zwei gleiche Rechtecke a · b. „a² und b²“ vergisst die Rechtecke, „einmal ab“ zählt nur eines von beiden.
Im Quadrat mit der Seite a + b sind a² und b² benannt. Wie groß ist jedes der beiden grauen Rechtecke?
Erklärung: Ein graues Rechteck ist a lang und b breit: a · b. Beide zusammen sind 2ab; a + b ist eine Länge, keine Fläche.
Im zerlegten Quadrat mit der Seite a + b sind die beiden gemischten Rechtecke gleich groß.
Erklärung: Richtig: Beide sind a lang und b breit (das eine liegt gedreht), jedes hat die Fläche a · b.
Im Quadrat mit der Seite a + b ist a = 5 und b = 2. Wie groß ist die Fläche eines der beiden Rechtecke a · b?
Erklärung: a · b = 5 · 2 = 10. Beide Rechtecke zusammen haben 20.
Ein Quadrat hat die Seite 6 + 3, also die Fläche 81. Die beiden Quadrate 6² und 3² decken zusammen 45 ab. Wie viel Fläche fehlt?
Erklärung: 81 − 45 = 36. Das sind die beiden Rechtecke 6 · 3 = 18, zusammen 36.
Welcher Term ist (a + b)² ausmultipliziert?
Erklärung: Jeder mit jedem: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². a² + b² lässt das mittlere Glied weg, a² + ab + b² zählt das Rechteck nur einmal.
(m + n)² = m² + 2mn + n²
Erklärung: Richtig: Es ist dieselbe Formel mit anderen Buchstaben, (a + b)² = a² + 2ab + b² mit a = m und b = n.
(x + 3)² = x² + 9
Erklärung: Falsch: Das mittlere Glied 2 · x · 3 = 6x fehlt. Für x = 1 ist (1 + 3)² = 16, aber 1² + 9 = 10.
Ergänze das mittlere Glied (ohne Malpunkt, z. B. 3xy): (a + b)² = a² + ___ + b²
Erklärung: Das mittlere Glied ist 2ab: zwei Rechtecke a · b.
Lena rechnet den Platz 103 m mal 103 m als (100 + 3)². Wie groß ist das mittlere Glied 2ab in m²?
Erklärung: 2 · 100 · 3 = 600 m². Diese 600 m² fehlten Lena: (100 + 3)² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609.
Begründe an einem Quadrat mit der Seite a + b, dass (a + b)² = a² + 2ab + b² gilt. Zeichne das Quadrat, beschrifte die vier Teilflächen und rechne die Formel für a = 3 und b = 2 nach.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die vier Teilflächen sind a², ab, ab und b². Zusammen a² + 2ab + b². Probe für a = 3 und b = 2: 25 = 9 + 12 + 4.
Multipliziere aus: (x + 3)(x + 2) = x² + □x + 6. Was gehört in die Lücke?
6 ist das letzte Glied, 3 · 2. Die x-Glieder: 2x + 3x.
Jeder mal jeden: 2x + 3x = 5x.
Ist (x + 4)² = x² + 16?
Nein: (x + 4)² = x² + 8x + 16. Die zwei Streifen 4x fehlen.
Ist (y + 6)² = y² + 36?
Nein: (y + 6)² = y² + 12y + 36. Die zwei Streifen 6y fehlen.