Quadrat einer Summe
Square of a sum
Das Quadrat einer Summe ist ein Produkt: (a + b)² heißt (a + b) · (a + b). Am Quadrat mit der Seite a + b werden vier Teilflächen sichtbar (a², b² und zweimal ab), und daraus folgt die erste binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b². Der Abschnitt räumt den Linearitätsfehler (a + b)² = a² + b² aus (Kirshner und Awtry 2004) und zeigt, dass ein Zahlenbeispiel eine falsche Umformung widerlegt, eine richtige aber nicht beweist (Healy und Hoyles 2000). Er bereitet das Anwenden der Formel auf Terme mit Koeffizienten vor.
Ein Quadrat und seine Teilflächen
Ein Quadrat gehört zur ganzen Klammer:
Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge
Die erste Formel
Die Fläche des ganzen Quadrats ist die Summe der vier Teile:
Das ist die erste binomische Formel. Zum selben Ergebnis führt „jeder mit jedem“: (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b. Das sind 2 · 2 = 4 Produkte, zwei davon gleich. Lenas fehlende 600 m² sind das mittlere Glied: 2 · 100 · 3 = 600.
Wie groß ist (3 + 4)²?
(5 + 2)² = 5² + 2²
Für a = 6 und b = 2 hat einer der drei Terme den Wert 64. Welcher?
Das Quadrat hat die Seitenlänge a + b und ist in vier Teile zerlegt. Welche Flächen sind es?
Im Quadrat mit der Seite a + b sind a² und b² benannt. Wie groß ist jedes der beiden grauen Rechtecke?
Im zerlegten Quadrat mit der Seite a + b sind die beiden gemischten Rechtecke gleich groß.
Welcher Term ist (a + b)² ausmultipliziert?
(m + n)² = m² + 2mn + n²
(x + 3)² = x² + 9
Berechne (a + b)² für a = 8 und b = 5.
Im Quadrat mit der Seite a + b ist a = 5 und b = 2. Wie groß ist die Fläche eines der beiden Rechtecke a · b?
Ergänze das mittlere Glied (ohne Malpunkt, z. B. 3xy): (a + b)² = a² + ___ + b²
Multipliziere aus: (x + 3)(x + 2) = x² + □x + 6. Was gehört in die Lücke?
Ein quadratischer Platz ist (60 + 5) m lang und ebenso breit. Wie groß ist seine Fläche in m²?
Ein Quadrat hat die Seite 6 + 3, also die Fläche 81. Die beiden Quadrate 6² und 3² decken zusammen 45 ab. Wie viel Fläche fehlt?
Lena rechnet den Platz 103 m mal 103 m als (100 + 3)². Wie groß ist das mittlere Glied 2ab in m²?
Begründe an einem Quadrat mit der Seite a + b, dass (a + b)² = a² + 2ab + b² gilt. Zeichne das Quadrat, beschrifte die vier Teilflächen und rechne die Formel für a = 3 und b = 2 nach. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.