Rückwärts erkennen
Welcher Term ist das Quadrat einer Summe?
Erklärung: x² + 12x + 36 = (x + 6)²: 36 = 6² und 2 · x · 6 = 12x. Bei x² + 6x + 36 passt die Mitte nicht, x² + 36 hat gar keine.
Schreibe x² + 8x + 16 als Quadrat.
Erklärung: x² + 8x + 16: 16 = 4² und 2 · x · 4 = 8x, also (x + 4)². (x + 8)² hat die Mitte 16x, (x + 4)(x − 4) ist x² − 16.
x² + 9 = (x + 3)²
Erklärung: Falsch: (x + 3)² = x² + 6x + 9, das mittlere Glied fehlt. Für x = 1 ist (1 + 3)² = 16, aber 1² + 9 = 10.
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²
Erklärung: (2x)² = 4x², 3² = 9 und 2 · 2x · 3 = 12x: Es passt.
Es gilt x² + 14x + 49 = (x + b)². Wie groß ist b?
Erklärung: 49 = 7² und 2 · x · 7 = 14x, also b = 7.
Ein quadratisches Feld hat die Fläche x² + 20x + 100 (in m²), das ist (x + 10)². Wie lang ist seine Seite für x = 5 in m?
Erklärung: Die Seite ist x + 10 = 15 m. Zur Probe: 225 = 25 + 100 + 100.
Zerlege x² − 64 in ein Produkt.
Erklärung: 64 = 8², also Quadrat minus Quadrat: (x + 8)(x − 8). (x − 8)² = x² − 16x + 64 und (x + 8)² = x² + 16x + 64 haben ein mittleres Glied.
Welche Differenz lässt sich mit der dritten Formel in ein Produkt zerlegen?
Erklärung: y² − 81 = y² − 9² = (y + 9)(y − 9). y² + 81 ist eine Summe von Quadraten, y² − 18 keine Differenz zweier Quadrate.
x² + 25 = (x + 5)(x − 5)
Erklärung: Falsch: (x + 5)(x − 5) = x² − 25. Eine Summe von Quadraten lässt sich so nicht zerlegen.
Ergänze: x² − 36 = (x + 6)(x − ___)
Erklärung: 36 = 6²: x² − 36 = (x + 6)(x − 6).
Berechne 75² − 25² mit (75 + 25)(75 − 25).
Erklärung: 100 · 50 = 5000. Zur Probe: 75² − 25² = 5625 − 625 = 5000.
Welche Zahl ergänzt x² + 6x + ___ zu einem Quadrat?
Erklärung: Die halbe Zahl bei x ist 3, ihr Quadrat 9: x² + 6x + 9 = (x + 3)². 6 schreibt die Zahl nur ab, 36 quadriert die ganze Zahl statt der Hälfte.
Das Quadrat x² und zwei Streifen 5x liegen vor. Wie groß ist die fehlende Ecke (Fläche)?
Erklärung: Die Ecke ist ein Quadrat mit der Seite 5: 5 · 5 = 25. 10 ist 2 · 5, 5 nur die Seitenlänge.
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Erklärung: 4 = 2² und 2 · x · 2 = 4x: Es passt, die halbe Zahl bei x ist 2.
Es gilt x² + 12x + ___ = (x + 6)². Ergänze die fehlende Zahl.
Erklärung: Die halbe Zahl bei x ist 6, ihr Quadrat 36.
Es gilt x² + 20x + 90 = (x + 10)² + r. Wie groß ist r?
Erklärung: (x + 10)² = x² + 20x + 100. Der Term x² + 20x + 90 ist um 10 kleiner: r = 90 − 100 = −10.
Zerlege 9x² − 16 und 4x² + 20x + 25 in Produkte. Schreibe auf, welche Formel du erkennst und was a und b sind, und prüfe beide Ergebnisse durch Ausmultiplizieren.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Dritte Formel: (3x + 4)(3x − 4). Erste Formel: (2x + 5)². Beide durch Ausmultiplizieren geprüft.
x² + 8x + □ = (x + 4)². Was gehört in die Lücke?
Das letzte Glied ist b² = 4².
4² = 16.
x² + 12x + □ = (x + 6)². Was gehört in die Lücke?
Das letzte Glied ist b² = 6².
6² = 36.
Ist x² − 10x + 25 dasselbe wie (x − 5)²?
Ja: a = x, b = 5, 2ab = 10x mit Minus.
Ist x² − 14x + 49 dasselbe wie (x − 7)²?
Ja: a = x, b = 7, 2ab = 14x mit Minus.