Rückwärts erkennen
Recognising backwards
Die Formeln werden rückwärts gelesen: x² + 10x + 25 ist ein Quadrat, weil x² und 25 = 5² Quadrate sind und die Mitte 2 · x · 5 passt; x² − 49 ist Quadrat minus Quadrat und wird (x + 7)(x − 7). Der Abschnitt räumt aus, dass jeder Term mit zwei Quadraten eine binomische Formel sei (x² + 9, x² + 10x + 16, Arcavi 1994) und dass x² − 9 = (x − 3)² gelte, und zeigt das Ergänzen zum Quadrat. Er bereitet das Kürzen von Bruchtermen (M8), die quadratische Ergänzung und die Scheitelform (M9) vor.
Das Quadrat einer Summe erkennen
Die Formeln lassen sich rückwärts lesen. x² + 10x + 25 ist ein Quadrat, wenn zwei Dinge passen: x² und 25 = 5² sind Quadrate, und die Mitte ist das Doppelte des Produkts, 2 · x · 5 = 10x. Dann gilt x² + 10x + 25 = (x + 5)². Bei x² + 10x + 16 passt die Mitte nicht: 2 · x · 4 = 8x. Prüfe immer beide Quadrate und die Mitte, bei jedem Term genau auf dieselbe Weise.
Quadrat minus Quadrat, Quadrat ergänzen
x² − 49 ist ein Quadrat minus ein Quadrat, denn 49 = 7². Nach der dritten Formel gilt x² − 49 = (x + 7)(x − 7). Bei der Summe x² + 49 klappt das nicht. Gibt es einen gemeinsamen Faktor, klammere ihn zuerst aus: 2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x + 3)(x − 3). Auch 4x² − 25 gehört dazu, denn es ist (2x)² − 5².
Bei x² + 8x fehlt die Ecke. Die halbe Zahl bei x ist 4, ihr Quadrat 16: x² + 8x + 16 = (x + 4)². Im Bild hat das Quadrat x² zwei
Voraussetzungen (1)
Welcher Term ist das Quadrat einer Summe?
Schreibe x² + 8x + 16 als Quadrat.
x² + 9 = (x + 3)²
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²
Zerlege x² − 64 in ein Produkt.
Welche Differenz lässt sich mit der dritten Formel in ein Produkt zerlegen?
x² + 25 = (x + 5)(x − 5)
Welche Zahl ergänzt x² + 6x + ___ zu einem Quadrat?
Das Quadrat x² und zwei Streifen 5x liegen vor. Wie groß ist die fehlende Ecke (Fläche)?
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Es gilt x² + 14x + 49 = (x + b)². Wie groß ist b?
Ergänze: x² − 36 = (x + 6)(x − ___)
Es gilt x² + 12x + ___ = (x + 6)². Ergänze die fehlende Zahl.
Ein quadratisches Feld hat die Fläche x² + 20x + 100 (in m²), das ist (x + 10)². Wie lang ist seine Seite für x = 5 in m?
Berechne 75² − 25² mit (75 + 25)(75 − 25).
Es gilt x² + 20x + 90 = (x + 10)² + r. Wie groß ist r?
Zerlege 9x² − 16 und 4x² + 20x + 25 in Produkte. Schreibe auf, welche Formel du erkennst und was a und b sind, und prüfe beide Ergebnisse durch Ausmultiplizieren. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.