Die zweite Formel
Multipliziere aus: (x − 4)²
Erklärung: (x − 4)² = x² − 2 · x · 4 + 4² = x² − 8x + 16. x² − 16 verwechselt die zweite mit der dritten Formel, x² − 8x − 16 lässt das Minus an 4² hängen.
(y − 3)² = y² − 6y + 9
Erklärung: Richtig: y² − 2 · y · 3 + 3² = y² − 6y + 9.
Für a = 9 und b = 4: Welchen Wert hat (a − b)²?
Erklärung: (9 − 4)² = 5² = 25. 65 ist a² − b² (die dritte Formel), 97 ist a² + b².
Es gilt (x − 7)² = x² − m · x + 49. Wie groß ist m?
Erklärung: Das mittlere Glied ist −2 · x · 7 = −14x, also m = 14.
Wie groß ist der Koeffizient von x im ausmultiplizierten Term (x − 5)²? (Beachte das Vorzeichen.)
Erklärung: (x − 5)² = x² − 2 · 5 · x + 25 = x² − 10x + 25. Der Koeffizient ist −10.
Vom Quadrat mit der Seite 8 werden zwei Streifen der Breite 3 abgezogen. Wie groß ist die Ecke, die in beiden Streifen liegt (in Flächeneinheiten)?
Erklärung: Die Ecke ist ein Quadrat der Seite 3: 3 · 3 = 9. 6 addiert die beiden Seiten 3 + 3, 3 ist nur eine Seitenlänge.
Vom Quadrat mit der Seite 8 werden rechts und unten zwei Streifen der Breite 3 abgezogen (je 8 · 3 = 24). Das übrige Quadrat hat dann die Fläche 64 − 24 − 24 = 16.
Erklärung: Falsch: Das übrige Quadrat hat die Seite 5 und die Fläche 25. Die Ecke 3 · 3 = 9 liegt in beiden Streifen und wurde zweimal abgezogen: 64 − 24 − 24 + 9 = 25.
Für a = 10 und b = 4 gilt (a − b)² = 36. Welche Rechnung liefert das?
Erklärung: 100 − 80 + 16 = 36. 100 − 80 − 16 = 4 lässt das Minus an 4² hängen, 100 − 16 = 84 ist die dritte Formel.
Berechne 10² − 2 · 10 · 3 + 3².
Erklärung: 100 − 60 + 9 = 49. Das ist (10 − 3)² = 7².
Ein quadratisches Beet hat die Seite 12 m. Rechts und unten wird je ein 2 m breiter Streifen abgetragen. Wie groß ist das übrige quadratische Beet in m²?
Erklärung: 12² − 2 · 12 · 2 + 2² = 144 − 48 + 4 = 100. Kontrolle: (12 − 2)² = 10² = 100.
Multipliziere aus: (2x − 3)²
Erklärung: (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. 4x² − 9 ist die dritte Formel, 2x² − 6x + 9 quadriert den Koeffizienten 2 nicht.
(3a − 1)² = 9a² − 6a + 1
Erklärung: Richtig: (3a)² = 9a², 2 · 3a · 1 = 6a, 1² = 1.
Wie rechnest du 99² geschickt?
Erklärung: 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801. 100² − 1² = 9999 ist die dritte Formel, 10 000 − 200 − 1 = 9799 lässt das Minus an 1² hängen.
Ergänze: (x − 6)² = x² − 12x + ___
Erklärung: 6² = 36; b² ist positiv.
Berechne 99² im Kopf mit (100 − 1)².
Erklärung: (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801.
Multipliziere aus: (3a − 4)². Zeichne das Quadrat mit der Seite 3a, ziehe zwei Streifen der Breite 4 ab und erkläre, warum die Ecke 4² wieder dazukommt. Prüfe dein Ergebnis für a = 2.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: a = 3a, b = 4: a² = 9a², −2ab = −24a, b² = +16. Probe für a = 2: 4 = 36 − 48 + 16.
(x − 6)² = x² + □x + 36. Was gehört in die Lücke?
Bei a − b ist das Mittelglied negativ.
(a − b)² = a² − 2ab + b²: −2 · x · 6 = −12x.
(x − 4)² = x² + □x + 16. Was gehört in die Lücke?
Bei a − b ist das Mittelglied negativ.
(a − b)² = a² − 2ab + b²: −2 · x · 4 = −8x.
(a − 3)² = a² − 6a + □. Was gehört in die Lücke?
Minus mal minus gibt plus: (−3)² = 9.
(−3)² = 9: Das letzte Glied ist positiv.
(a − 5)² = a² − 10a + □. Was gehört in die Lücke?
Minus mal minus gibt plus: (−5)² = 25.
(−5)² = 25: Das letzte Glied ist positiv.