Die zweite Formel

The second formula

Mathematik Klasse 7 20 Aufgaben
AlgebraBinomische FormelnTerme

Die zweite binomische Formel (a − b)² = a² − 2ab + b² folgt aus dem Ausmultiplizieren mit Vorzeichen und aus dem Bild: Vom Quadrat a² werden zwei Streifen ab abgezogen, die Ecke b² wurde doppelt abgezogen und kommt einmal zurück. Der Abschnitt räumt aus, dass (a − b)² = a² − b² gelte (die dritte Formel wird verwechselt) und dass b² negativ bleibe (das Minus bleibt an b hängen, Vlassis 2004). Er bereitet die Formelwahl und das Rechnen mit 99² vor.

Das Minus im Quadrat

Auch (a − b)² ist ein Produkt: (a − b)(a − b). Jeder mit jedem ergibt a · a − a · b − b · a + (−b) · (−b). Nur das mittlere Glied bekommt ein Minus, b² bleibt positiv, denn (−b) · (−b) = +b². Das ist die zweite binomische Formel:

Zum Beispiel ist (x − 4)² = x² − 8x + 16, nicht x² − 16. Zur Probe: (5 − 2)² = 9 und 25 − 20 + 4 = 9, aber 25 − 4 = 21.

Die Ecke und das Ausrechnen

Im Bild werden vom Quadrat a² zwei Streifen der Breite b abgezogen: einer rechts, einer unten, jeder mit der Fläche a · b. Die Ecke b² liegt in beiden Streifen und wurde zweimal weggenommen. Sie muss einmal zurück. Bei a = 6 und b = 2 bleibt ein Quadrat mit der Seite 4, also der Fläche 16. Zieht man den Streifen a · b nur zweimal ab, ist das Ergebnis um b² zu klein.

Verändere a und b. Wo liegt die doppelt abgezogene Ecke?

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. Für Zahlen gilt: 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801. In den Säulen sind (a − b)² und a² − 2ab + b² immer gleich hoch. a² − b² dagegen ist nicht gleich, es gehört zur dritten Formel.

Verändere a und b und vergleiche die drei Säulen.

Voraussetzungen (1)

Quadrat einer Summe
Klasse 7
›

Ermöglicht (1)

Die richtige Formel wählen
Klasse 7
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Multipliziere aus: (x − 4)²

  • ● x² − 8x + 16
  • ○ x² − 16
  • ○ x² − 8x − 16
(x − 4)² = x² − 2 · x · 4 + 4² = x² − 8x + 16. x² − 16 verwechselt die zweite mit der dritten Formel, x² − 8x − 16 lässt das Minus an 4² hängen.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

(y − 3)² = y² − 6y + 9

✓ Wahr
Richtig: y² − 2 · y · 3 + 3² = y² − 6y + 9.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Für a = 9 und b = 4: Welchen Wert hat (a − b)²?

  • ● 25
  • ○ 65
  • ○ 97
(9 − 4)² = 5² = 25. 65 ist a² − b² (die dritte Formel), 97 ist a² + b².
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Vom Quadrat mit der Seite 8 werden zwei Streifen der Breite 3 abgezogen. Wie groß ist die Ecke, die in beiden Streifen liegt (in Flächeneinheiten)?

  • ● 9
  • ○ 6
  • ○ 3
Die Ecke ist ein Quadrat der Seite 3: 3 · 3 = 9. 6 addiert die beiden Seiten 3 + 3, 3 ist nur eine Seitenlänge.
Wahr / Falsch #5 25s ▶ Testen

Vom Quadrat mit der Seite 8 werden rechts und unten zwei Streifen der Breite 3 abgezogen (je 8 · 3 = 24). Das übrige Quadrat hat dann die Fläche 64 − 24 − 24 = 16.

✓ Falsch
Falsch: Das übrige Quadrat hat die Seite 5 und die Fläche 25. Die Ecke 3 · 3 = 9 liegt in beiden Streifen und wurde zweimal abgezogen: 64 − 24 − 24 + 9 = 25.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Für a = 10 und b = 4 gilt (a − b)² = 36. Welche Rechnung liefert das?

  • ● 10² − 2 · 10 · 4 + 4²
  • ○ 10² − 2 · 10 · 4 − 4²
  • ○ 10² − 4²
100 − 80 + 16 = 36. 100 − 80 − 16 = 4 lässt das Minus an 4² hängen, 100 − 16 = 84 ist die dritte Formel.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Multipliziere aus: (2x − 3)²

  • ● 4x² − 12x + 9
  • ○ 4x² − 9
  • ○ 2x² − 6x + 9
(2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. 4x² − 9 ist die dritte Formel, 2x² − 6x + 9 quadriert den Koeffizienten 2 nicht.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

(3a − 1)² = 9a² − 6a + 1

✓ Wahr
Richtig: (3a)² = 9a², 2 · 3a · 1 = 6a, 1² = 1.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Wie rechnest du 99² geschickt?

  • ● 100² − 2 · 100 · 1 + 1²
  • ○ 100² − 1²
  • ○ 100² − 2 · 100 · 1 − 1²
99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801. 100² − 1² = 9999 ist die dritte Formel, 10 000 − 200 − 1 = 9799 lässt das Minus an 1² hängen.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Es gilt (x − 7)² = x² − m · x + 49. Wie groß ist m?

✓ Antwort: 14
Das mittlere Glied ist −2 · x · 7 = −14x, also m = 14.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne 10² − 2 · 10 · 3 + 3².

✓ Antwort: 49
100 − 60 + 9 = 49. Das ist (10 − 3)² = 7².
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: (x − 6)² = x² − 12x + ___

✓ Antwort: 36
6² = 36; b² ist positiv.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

(x − 6)² = x² + □x + 36. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: -12
Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

(x − 4)² = x² + □x + 16. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: -8
Zahleneingabe #6 35s ▶ Testen

(a − 3)² = a² − 6a + □. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 9
Zahleneingabe #7 35s ▶ Testen

(a − 5)² = a² − 10a + □. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 25
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Wie groß ist der Koeffizient von x im ausmultiplizierten Term (x − 5)²? (Beachte das Vorzeichen.)

✓ Antwort: -10
(x − 5)² = x² − 2 · 5 · x + 25 = x² − 10x + 25. Der Koeffizient ist −10.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ein quadratisches Beet hat die Seite 12 m. Rechts und unten wird je ein 2 m breiter Streifen abgetragen. Wie groß ist das übrige quadratische Beet in m²?

✓ Antwort: 100
12² − 2 · 12 · 2 + 2² = 144 − 48 + 4 = 100. Kontrolle: (12 − 2)² = 10² = 100.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 99² im Kopf mit (100 − 1)².

✓ Antwort: 9801
(100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Multipliziere aus: (3a − 4)². Zeichne das Quadrat mit der Seite 3a, ziehe zwei Streifen der Breite 4 ab und erkläre, warum die Ecke 4² wieder dazukommt. Prüfe dein Ergebnis für a = 2. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Quadrat (3a)² = 9a², zwei Streifen 3a · 4 = 12a abgezogen; die Ecke 4² = 16 liegt in beiden Streifen und kommt einmal zurück. (3a − 4)² = 9a² − 24a + 16. Probe für a = 2: (6 − 4)² = 4 und 36 − 48 + 16 = 4.
a = 3a, b = 4: a² = 9a², −2ab = −24a, b² = +16. Probe für a = 2: 4 = 36 − 48 + 16.