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Bruchgleichungen lösen

44 Aufgaben · interaktiv

Welche Definitionsmenge hat 3/x = 5/(x − 2)?

Erklärung: Beide Nenner müssen ungleich null sein: x ≠ 0 und x − 2 ≠ 0, also x ≠ 2. Wer nur einen Nenner prüft, vergisst eine Zahl.

Der Zahlenstrahl zeigt die ausgeschlossenen Zahlen −1 und 4. Zu welcher Gleichung gehört diese Definitionsmenge?

Erklärung: Der Nenner x + 1 verbietet −1, der Nenner x − 4 verbietet 4. In 2/(x − 1) = 3/(x + 4) sind es 1 und −4, in 2/(x + 1) = 3 nur −1.

Für 1/x = 2/(x − 5) gilt D = ℚ \ {0, a}. Welche Zahl ist a?

Erklärung: x − 5 = 0 ergibt x = 5, also a = 5.

Wie viele Zahlen fehlen in der Definitionsmenge von 1/(x − 1) + 2/(x + 1) = 3/((x − 1)(x + 1))?

Erklärung: Die Nenner sind bei x = 1 und x = −1 null. Zwei Zahlen sind ausgeschlossen, der Produktnenner bringt keine weitere.

Welche Gleichung entsteht aus 3/x = 6/(x + 2) durch Kreuzmultiplizieren?

Erklärung: Zähler links mal Nenner rechts, Zähler rechts mal Nenner links: 3 · (x + 2) = 6 · x. 3x = 6(x + 2) kreuzt falsch, 3 · 6 = x(x + 2) multipliziert Zähler mit Zähler.

Welche Lösung hat 2/x = 6/9?

Erklärung: Über Kreuz: 2 · 9 = 6 · x, also x = 18/6 = 3. 4/3 rechnet 2 · 6 / 9, 27 rechnet 6 · 9 / 2.

Löse 4/x = 8/(x + 3).

Erklärung: 4(x + 3) = 8x, also 4x + 12 = 8x, 12 = 4x und x = 3. Probe: 4/3 = 8/6.

Löse 5/(x − 1) = 10/(x + 4).

Erklärung: 5(x + 4) = 10(x − 1), also 5x + 20 = 10x − 10, 30 = 5x und x = 6. Probe: 5/5 = 10/10.

Was entsteht, wenn du x/2 + 3 = 5 mit 2 multiplizierst?

Erklärung: Jeder Summand wird mit 2 multipliziert: x + 6 = 10. x + 3 = 10 vergisst die 3 (Summand ohne Bruch), x + 6 = 5 vergisst die rechte Seite.

Welche Gleichung entsteht, wenn du 1/x + 1/3 = 1/2 mit 6x multiplizierst?

Erklärung: 6x · 1/x = 6, 6x · 1/3 = 2x, 6x · 1/2 = 3x. 6 + 2x = 3 vergisst die rechte Seite, 6x + 2x = 3x multipliziert 1/x nicht richtig.

Löse x/4 + 2 = 5.

Erklärung: Mal 4: x + 8 = 20, also x = 12. Probe: 12/4 + 2 = 5.

Pumpe A füllt das Becken allein in 3 Stunden, beide zusammen in 2 Stunden. Pro Stunde gilt 1/3 + 1/b = 1/2. In wie vielen Stunden füllt Pumpe B allein?

Erklärung: Mal 6b: 2b + 6 = 3b, also b = 6. Probe: 1/3 + 1/6 = 1/2.

Löse 2/x + 1/3 = 1/x + 1/2. Bestimme zuerst die Definitionsmenge, multipliziere dann mit dem Hauptnenner (jeden Summanden), löse die Gleichung und mache die Probe in der Ausgangsgleichung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Nach dem Multiplizieren mit 6x bleibt eine lineare Gleichung. x = 6 liegt in D, und beide Seiten der Ausgangsgleichung ergeben 2/3.

Löse x/(x − 3) = 3/(x − 3). Wie lautet die Lösungsmenge?

Erklärung: Mal (x − 3) ergibt x = 3, aber 3 ist nicht in D = ℚ \ {3}. Damit ist 3 eine Scheinlösung und die Lösungsmenge leer, L = { }. ℚ \ {3} wäre bei x/(x − 3) = x/(x − 3) richtig.

Nach dem Multiplizieren ergibt sich jedes Mal x = 2. In welcher Gleichung ist 2 eine Scheinlösung?

Erklärung: In der ersten Gleichung ist der Nenner bei x = 2 null, 2 ∉ D. In x/(x + 1) = 2/3 ergibt x = 2 beide Seiten 2/3, und in x/3 + 1 = 5/3 stimmt 2/3 + 1 = 5/3.

Die Graphen von y = x/(x − 2) und y = 2/(x − 2) schneiden sich bei x = 2.

Erklärung: Bei x = 2 sind beide Terme nicht definiert, die Graphen haben dort keinen Punkt. Sie schneiden sich nirgends: Die Gleichung hat keine Lösung, x = 2 ist eine Scheinlösung.

Wie viele Lösungen hat 2x/(x − 1) = 2/(x − 1) + 3?

Erklärung: Mal (x − 1): 2x = 2 + 3(x − 1), also 2x = 3x − 1 und x = 1. Aber 1 ist nicht in D = ℚ \ {1}: keine Lösung.

Löse 3/(x − 1) + 2 = 6/(x − 1) + 1.

Erklärung: D = ℚ \ {1}. Mal (x − 1): 3 + 2(x − 1) = 6 + (x − 1), also 2x + 1 = x + 5 und x = 4. 4 liegt in D. Probe: 3/3 + 2 = 3 und 6/3 + 1 = 3.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/x = 4/(x + 3)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 2 · (x + 3) = 4x. Also x = 3. Probe: x = 3 macht keinen Nenner null.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/x = 6/(x + 5)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 3 · (x + 5) = 6x. Also x = 5. Probe: x = 5 macht keinen Nenner null.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/x = 9/(x + 4)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 3 · (x + 4) = 9x. Also x = 2. Probe: x = 2 macht keinen Nenner null.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/x = 8/(x + 6)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 2 · (x + 6) = 8x. Also x = 2. Probe: x = 2 macht keinen Nenner null.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 4/(x − 1) = 8/(x + 2)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 4 · (x + 2) = 8 · (x − 1). Also x = 4. Probe: x = 4 macht keinen Nenner null.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 6/(x − 2) = 9/(x + 1)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 6 · (x + 1) = 9 · (x − 2). Also x = 8. Probe: x = 8 macht keinen Nenner null.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 6/x + 1 = 4

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe.

D = ℚ \ {0}. Mal x, jeden Summanden: 6 + 1x = 4x. Also 6 = 3x und x = 2. Probe: 6/2 + 1 = 4.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 9/x + 1 = 4

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe.

D = ℚ \ {0}. Mal x, jeden Summanden: 9 + 1x = 4x. Also 9 = 3x und x = 3. Probe: 9/3 + 1 = 4.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 12/x + 2 = 5

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe.

D = ℚ \ {0}. Mal x, jeden Summanden: 12 + 2x = 5x. Also 12 = 3x und x = 4. Probe: 12/4 + 2 = 5.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 15/x + 2 = 7

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe.

D = ℚ \ {0}. Mal x, jeden Summanden: 15 + 2x = 7x. Also 15 = 5x und x = 3. Probe: 15/3 + 2 = 7.

Welche Zahl darf x nicht sein? 5/(x − 4) = 2

x − 4 = 0 heißt x = 4, nicht −4.

Der Nenner darf nicht null sein: x − 4 = 0 bei x = 4. Also D = ℚ \ {4}.

Welche Zahl darf x nicht sein? 7/(x − 6) = 1

x − 6 = 0 heißt x = 6, nicht −6.

Der Nenner darf nicht null sein: x − 6 = 0 bei x = 6. Also D = ℚ \ {6}.

Nach dem Multiplizieren kommt x = 3 heraus. x/(x − 3) = 3/(x − 3) Ist 3 eine Lösung?

Nein: Für x = 3 ist der Nenner x − 3 null. 3 liegt nicht in D, es ist eine Scheinlösung. Die Lösungsmenge ist leer.

Nach dem Multiplizieren kommt x = 5 heraus. 2x/(x − 5) = 10/(x − 5) Ist 5 eine Lösung?

Nein: Für x = 5 ist der Nenner x − 5 null. 5 liegt nicht in D, es ist eine Scheinlösung.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/x + 1/3 = 1

Auch 1/3 wird mit 3x multipliziert: das gibt x.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe.

D = ℚ \ {0}. Hauptnenner 3x, jeden Summanden: 6 + x = 3x. Also 6 = 2x und x = 3.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/x + 1/2 = 2

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe.

D = ℚ \ {0}. Hauptnenner 2x, jeden Summanden: 6 + x = 4x. Also 6 = 3x und x = 2.

Nach dem Multiplizieren kommt x = 4 heraus. 8/x = 2/(x − 3) Ist 4 eine Lösung?

Ja: D = ℚ \ {0, 3}. 4 liegt in D. Probe: 8/4 = 2 und 2/(4 − 3) = 2.

Nach dem Multiplizieren kommt x = 6 heraus. 9/x = 3/(x − 4) Ist 6 eine Lösung?

Ja: D = ℚ \ {0, 4}. 6 liegt in D. Probe: 9/6 = 1,5 und 3/(6 − 4) = 1,5.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/(x + 3) = 3/(x + 2)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 2 · (x + 2) = 3 · (x + 3). Also x = −5. Probe: x = −5 macht keinen Nenner null.

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/(x + 4) = 4/(x + 2)

Über Kreuz heißt: der Zähler links mal den Nenner rechts. Du hast jeden Zähler mit seinem eigenen Nenner multipliziert.

Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl in beide Brüche ein.

Über Kreuz: 3 · (x + 2) = 4 · (x + 4). Also x = −10. Probe: x = −10 macht keinen Nenner null.

Nach dem Multiplizieren kommt x = 1 heraus. 3/(x − 1) + 2 = 3x/(x − 1) Ist 1 eine Lösung?

Nein: Für x = 1 ist der Nenner x − 1 null. 1 ist eine Scheinlösung; die Lösungsmenge ist leer.

Nach dem Multiplizieren kommt x = 2 heraus. 4/(x − 2) + 1 = 2x/(x − 2) Ist 2 eine Lösung?

Nein: Für x = 2 ist der Nenner x − 2 null. 2 ist eine Scheinlösung; die Lösungsmenge ist leer.

Pumpe A füllt ein Becken allein in 6 Stunden. Mit Pumpe B zusammen dauert es 4 Stunden. Pro Stunde gilt 1/6 + 1/b = 1/4. Wie viele Stunden braucht B allein?

1/b = 1/4 − 1/6 = 1/12. Also b = 12 Stunden. Probe: 1/6 + 1/12 = 1/4.

Pumpe A füllt ein Becken allein in 10 Stunden. Mit Pumpe B zusammen dauert es 6 Stunden. Pro Stunde gilt 1/10 + 1/b = 1/6. Wie viele Stunden braucht B allein?

1/b = 1/6 − 1/10 = 1/15. Also b = 15 Stunden. Probe: 1/10 + 1/15 = 1/6.

Welche Zahl darf x nicht sein? 4/(x − 5) = 1

x − 5 = 0 heißt x = 5.

x − 5 = 0 bei x = 5. Also D = ℚ \ {5}.

Löse die Gleichung. Trag x ein. x/3 + 2 = 6

Auch die 2 wird mit 3 multipliziert: x + 6 = 18.

Mal 3, jeden Summanden: x + 6 = 18, also x = 12.

Aufgabe 1 von 44