Bruchgleichungen lösen

Solving fractional equations

Mathematik Klasse 8 44 Aufgaben

AlgebraGleichungenBrüche

Steht die Unbekannte im Nenner, wird zuerst die Definitionsmenge bestimmt, dann mit dem Hauptnenner multipliziert, und zwar jeder Summand, auch der ohne Bruch. Bei a/b = c/d genügt das Kreuzprodukt. Die Lösung muss in D liegen; sonst ist sie eine Scheinlösung und wird verworfen. Der Abschnitt räumt aus, den Summanden ohne Bruch zu vergessen, falsch zu kreuzen und Scheinlösungen zu behalten. Er bereitet die Deutung als Schnittproblem, quadratische Gleichungen mit Bruch und Sachaufgaben zu Arbeitszeit und Geschwindigkeit vor.

D und über Kreuz

Steht x im Nenner, bestimmst du vor dem Rechnen die Definitionsmenge. Bei $\frac{3}{x} = \frac{5}{x - 2}$ sind x = 0 und x = 2 verboten: $D = Q ∖ {0, 2}$ . Jede Lösung muss in D liegen. Zeichne die verbotenen Zahlen als hohle Punkte auf den Zahlenstrahl.

Steht links ein Bruch und rechts ein Bruch, multiplizierst du über Kreuz: Zähler links mal Nenner rechts, Zähler rechts mal Nenner links. Aus $\frac{3}{x} = \frac{6}{x + 2}$ wird $3 (x + 2) = 6 x$ , also 3x + 6 = 6x und x = 2. Die 2 liegt in D, die Lösung gilt. Auch 2/x = 6/9 löst du so: 2 · 9 = 6 · x, also x = 3.

Hauptnenner und Scheinlösungen

Stehen mehrere Summanden da, multiplizierst du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner, jeden Summanden. Bei $\frac{x}{2} + 3 = 5$ mal 2 entsteht x + 6 = 10, nicht x + 3 = 10. Bei $\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ mal 6x entsteht 6 + 2x = 3x und damit x = 6. Danach löst du wie eine lineare Gleichung.

Nach dem Lösen prüfst du, ob die Zahl in D liegt. Bei $\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3}$ ergibt sich x = 3, aber 3 ist verboten: eine Scheinlösung, die Lösungsmenge ist leer. Die vier Schritte gelten immer: D bestimmen, mit dem Hauptnenner multiplizieren, lösen, prüfen. Die Probe in der Ausgangsgleichung bestätigt jede echte Lösung.

Die vier Schritte einer Bruchgleichung.

Voraussetzungen (1)

Addieren und Subtrahieren

Klasse 8

›

Ermöglicht (2)

Formeln umstellen

Klasse 8

›

Gleichung als Schnittproblem

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Definitionsmenge hat 3/x = 5/(x − 2)?

● ℚ \ {0, 2}
○ ℚ \ {0}
○ ℚ \ {2}

Beide Nenner müssen ungleich null sein: x ≠ 0 und x − 2 ≠ 0, also x ≠ 2. Wer nur einen Nenner prüft, vergisst eine Zahl.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Zahlenstrahl zeigt die ausgeschlossenen Zahlen −1 und 4. Zu welcher Gleichung gehört diese Definitionsmenge?

● 2/(x + 1) = 3/(x − 4)
○ 2/(x − 1) = 3/(x + 4)
○ 2/(x + 1) = 3

Der Nenner x + 1 verbietet −1, der Nenner x − 4 verbietet 4. In 2/(x − 1) = 3/(x + 4) sind es 1 und −4, in 2/(x + 1) = 3 nur −1.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Gleichung entsteht aus 3/x = 6/(x + 2) durch Kreuzmultiplizieren?

● 3(x + 2) = 6x
○ 3x = 6(x + 2)
○ 3 · 6 = x(x + 2)

Zähler links mal Nenner rechts, Zähler rechts mal Nenner links: 3 · (x + 2) = 6 · x. 3x = 6(x + 2) kreuzt falsch, 3 · 6 = x(x + 2) multipliziert Zähler mit Zähler.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Lösung hat 2/x = 6/9?

● 3
○ 4/3
○ 27

Über Kreuz: 2 · 9 = 6 · x, also x = 18/6 = 3. 4/3 rechnet 2 · 6 / 9, 27 rechnet 6 · 9 / 2.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Was entsteht, wenn du x/2 + 3 = 5 mit 2 multiplizierst?

● x + 6 = 10
○ x + 3 = 10
○ x + 6 = 5

Jeder Summand wird mit 2 multipliziert: x + 6 = 10. x + 3 = 10 vergisst die 3 (Summand ohne Bruch), x + 6 = 5 vergisst die rechte Seite.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Gleichung entsteht, wenn du 1/x + 1/3 = 1/2 mit 6x multiplizierst?

● 6 + 2x = 3x
○ 6 + 2x = 3
○ 6x + 2x = 3x

6x · 1/x = 6, 6x · 1/3 = 2x, 6x · 1/2 = 3x. 6 + 2x = 3 vergisst die rechte Seite, 6x + 2x = 3x multipliziert 1/x nicht richtig.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Löse x/(x − 3) = 3/(x − 3). Wie lautet die Lösungsmenge?

● L = { }
○ L = {3}
○ L = ℚ \ {3}

Mal (x − 3) ergibt x = 3, aber 3 ist nicht in D = ℚ \ {3}. Damit ist 3 eine Scheinlösung und die Lösungsmenge leer, L = { }. ℚ \ {3} wäre bei x/(x − 3) = x/(x − 3) richtig.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Nach dem Multiplizieren ergibt sich jedes Mal x = 2. In welcher Gleichung ist 2 eine Scheinlösung?

● x/(x − 2) = 2/(x − 2)
○ x/(x + 1) = 2/3
○ x/3 + 1 = 5/3

In der ersten Gleichung ist der Nenner bei x = 2 null, 2 ∉ D. In x/(x + 1) = 2/3 ergibt x = 2 beide Seiten 2/3, und in x/3 + 1 = 5/3 stimmt 2/3 + 1 = 5/3.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Graphen von y = x/(x − 2) und y = 2/(x − 2) schneiden sich bei x = 2.

✓ Falsch

Bei x = 2 sind beide Terme nicht definiert, die Graphen haben dort keinen Punkt. Sie schneiden sich nirgends: Die Gleichung hat keine Lösung, x = 2 ist eine Scheinlösung.

Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Nach dem Multiplizieren kommt x = 3 heraus. x/(x − 3) = 3/(x − 3) Ist 3 eine Lösung?

✓ Nein

Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Nach dem Multiplizieren kommt x = 5 heraus. 2x/(x − 5) = 10/(x − 5) Ist 5 eine Lösung?

✓ Nein

Wahr / Falsch #12 25s ▶ Testen

Nach dem Multiplizieren kommt x = 4 heraus. 8/x = 2/(x − 3) Ist 4 eine Lösung?

✓ Ja

Wahr / Falsch #13 25s ▶ Testen

Nach dem Multiplizieren kommt x = 6 heraus. 9/x = 3/(x − 4) Ist 6 eine Lösung?

✓ Ja

Wahr / Falsch #14 25s ▶ Testen

Nach dem Multiplizieren kommt x = 1 heraus. 3/(x − 1) + 2 = 3x/(x − 1) Ist 1 eine Lösung?

✓ Nein

Wahr / Falsch #15 25s ▶ Testen

Nach dem Multiplizieren kommt x = 2 heraus. 4/(x − 2) + 1 = 2x/(x − 2) Ist 2 eine Lösung?

✓ Nein

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für 1/x = 2/(x − 5) gilt D = ℚ \ {0, a}. Welche Zahl ist a?

✓ Antwort: 5

x − 5 = 0 ergibt x = 5, also a = 5.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Löse 4/x = 8/(x + 3).

✓ Antwort: 3

4(x + 3) = 8x, also 4x + 12 = 8x, 12 = 4x und x = 3. Probe: 4/3 = 8/6.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse x/4 + 2 = 5.

✓ Antwort: 12

Mal 4: x + 8 = 20, also x = 12. Probe: 12/4 + 2 = 5.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat 2x/(x − 1) = 2/(x − 1) + 3?

✓ Antwort: 0

Mal (x − 1): 2x = 2 + 3(x − 1), also 2x = 3x − 1 und x = 1. Aber 1 ist nicht in D = ℚ \ {1}: keine Lösung.

Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/x = 4/(x + 3)

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #6 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/x = 6/(x + 5)

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #7 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/x = 9/(x + 4)

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #8 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/x = 8/(x + 6)

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #9 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 4/(x − 1) = 8/(x + 2)

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #10 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 6/(x − 2) = 9/(x + 1)

✓ Antwort: 8

Zahleneingabe #11 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 6/x + 1 = 4

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #12 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 9/x + 1 = 4

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #13 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 12/x + 2 = 5

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #14 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 15/x + 2 = 7

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #15 40s ▶ Testen

Welche Zahl darf x nicht sein? 5/(x − 4) = 2

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #16 40s ▶ Testen

Welche Zahl darf x nicht sein? 7/(x − 6) = 1

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #17 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/x + 1/3 = 1

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #18 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/x + 1/2 = 2

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #19 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2/(x + 3) = 3/(x + 2)

✓ Antwort: -5

Zahleneingabe #20 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3/(x + 4) = 4/(x + 2)

✓ Antwort: -10

Zahleneingabe #21 60s ▶ Testen

Pumpe A füllt ein Becken allein in 6 Stunden. Mit Pumpe B zusammen dauert es 4 Stunden. Pro Stunde gilt 1/6 + 1/b = 1/4. Wie viele Stunden braucht B allein?

✓ Antwort: 12

Zahleneingabe #22 60s ▶ Testen

Pumpe A füllt ein Becken allein in 10 Stunden. Mit Pumpe B zusammen dauert es 6 Stunden. Pro Stunde gilt 1/10 + 1/b = 1/6. Wie viele Stunden braucht B allein?

✓ Antwort: 15

Zahleneingabe #23 20s ▶ Testen

Welche Zahl darf x nicht sein? 4/(x − 5) = 1

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #24 25s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. x/3 + 2 = 6

✓ Antwort: 12

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele Zahlen fehlen in der Definitionsmenge von 1/(x − 1) + 2/(x + 1) = 3/((x − 1)(x + 1))?

✓ Antwort: 2

Die Nenner sind bei x = 1 und x = −1 null. Zwei Zahlen sind ausgeschlossen, der Produktnenner bringt keine weitere.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Löse 5/(x − 1) = 10/(x + 4).

✓ Antwort: 6

5(x + 4) = 10(x − 1), also 5x + 20 = 10x − 10, 30 = 5x und x = 6. Probe: 5/5 = 10/10.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Pumpe A füllt das Becken allein in 3 Stunden, beide zusammen in 2 Stunden. Pro Stunde gilt 1/3 + 1/b = 1/2. In wie vielen Stunden füllt Pumpe B allein?

✓ Antwort: 6

Mal 6b: 2b + 6 = 3b, also b = 6. Probe: 1/3 + 1/6 = 1/2.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse 2/x + 1/3 = 1/x + 1/2. Bestimme zuerst die Definitionsmenge, multipliziere dann mit dem Hauptnenner (jeden Summanden), löse die Gleichung und mache die Probe in der Ausgangsgleichung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℚ \ {0}. Mal 6x: 12 + 2x = 6 + 3x, also 6 = x. x = 6 liegt in D. Probe: 2/6 + 1/3 = 2/3 und 1/6 + 1/2 = 2/3.

Nach dem Multiplizieren mit 6x bleibt eine lineare Gleichung. x = 6 liegt in D, und beide Seiten der Ausgangsgleichung ergeben 2/3.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Löse 3/(x − 1) + 2 = 6/(x − 1) + 1.

✓ Antwort: 4

D = ℚ \ {1}. Mal (x − 1): 3 + 2(x − 1) = 6 + (x − 1), also 2x + 1 = x + 5 und x = 4. 4 liegt in D. Probe: 3/3 + 2 = 3 und 6/3 + 1 = 3.