Erweitern und Kürzen
Der Streifen zeigt den Anteil 2/3. Welcher Bruch beschreibt denselben Anteil?
Erklärung: Erweitern mit 2 verdoppelt Zähler und Nenner: 4/6 zeigt genau denselben Anteil. 4/5 addiert 2 zu beiden Zahlen, 2/6 ändert nur den Nenner.
Erweitere 2/(x + 1) mit 3. Welcher Bruch entsteht?
Erklärung: Zähler und der ganze Nenner werden mit 3 multipliziert: 6/(3(x + 1)) = 6/(3x + 3). 6/(x + 3) multipliziert im Nenner nur die 1 mit 3, nicht das x. 2/(3x + 3) lässt den Zähler aus.
Erweitere 5/(x − 2) mit 4. Der neue Nenner ist 4x − c. Welche Zahl ist c?
Erklärung: 4 · (x − 2) = 4x − 8, also c = 8. Der Zähler wird dabei zu 20.
Der Bruch 3/(x + 5) wird auf den Nenner 4x + 20 erweitert. Welche Zahl steht im Zähler?
Erklärung: 4x + 20 = 4 · (x + 5): Es wurde mit 4 erweitert, also wird der Zähler 3 · 4 = 12.
Kürze 6x/(9x²) so weit wie möglich.
Erklärung: 6x/(9x²) = (3x · 2)/(3x · 3x): Nach Streichen von 3x bleibt 2/(3x). 2/(3x²) kürzt das x nicht mit, 2x/3 kürzt es auf der falschen Seite.
In welchem Bruch steht in Zähler und Nenner ein gemeinsamer Faktor?
Erklärung: 4x/(8y) besteht aus Produkten und hat den Faktor 4. In (4 + x)/(8 + y) und (x + 4)/(4y) steht im Zähler eine Summe: Dort ist keine 4 ein Faktor.
Kürze 12x/(4x). Das Ergebnis ist eine Zahl. Welche?
Erklärung: 12x/(4x) = (4x · 3)/(4x · 1) = 3 für x ≠0.
Kürze 15a²b/(5ab) und berechne den Wert für a = 4 und b = 7.
Erklärung: 15a²b/(5ab) = 3a, denn 5, a und b werden gekürzt. Für a = 4 ist 3a = 12. Ohne Kürzen: 1680/140 = 12.
Welche Umformung ist richtig?
Erklärung: Jeder Summand wird durch 3 geteilt: x/3 + 3/3 = x/3 + 1. x + 1 streicht die 3 aus einer Summe, x streicht sogar die ganze Summe.
Die Terme (x + 3)/3 und x + 1 haben denselben Graphen.
Erklärung: Die Graphen sind zwei verschiedene Geraden, sie treffen sich nur bei x = 0 (beide Werte 1). Bei x = 3 ist der eine Term 2, der andere 4.
Für x = 3 hat (x + 3)/3 den Wert a und x + 1 den Wert b. Berechne b − a.
Erklärung: a = (3 + 3)/3 = 2 und b = 3 + 1 = 4, also b − a = 2. Die Terme sind nicht gleich.
Für genau einen Wert von x stimmen (x + 3)/3 und x + 1 überein. Welcher Wert ist es?
Erklärung: (x + 3)/3 = x + 1 | · 3 ergibt x + 3 = 3x + 3, also 2x = 0 und x = 0. Nur dort sind die Terme gleich; überall sonst darf man nicht „kürzen“.
Kürze (3x + 6)/(x + 2).
Erklärung: 3x + 6 = 3(x + 2): Der Faktor (x + 2) kürzt sich, es bleibt 3. 6 kürzt jeden Summanden einzeln (3x/x = 3 und 6/2 = 3) und addiert. 3x + 3 teilt nur die 6 durch 2 und lässt den Nenner fallen.
Der Rechenbaum zeigt (x − 3)(x + 3)/(x + 3). Welcher Term bleibt nach dem Kürzen?
Erklärung: Der Faktor (x + 3) steht im Zähler und im Nenner und wird gestrichen. Es bleibt der Faktor (x − 3). Nur die 3 zu streichen wäre falsch, denn sie steht in Summen.
(x² − 9)/(x + 3) = x − 3 gilt für alle x außer x = −3.
Erklärung: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), gekürzt bleibt x − 3. Der Ausgangsterm ist bei x = −3 nicht definiert; diese Zahl bleibt auch nach dem Kürzen ausgeschlossen.
Kürze (4x + 12)/(x + 3). Das Ergebnis ist eine Zahl. Welche?
Erklärung: 4x + 12 = 4(x + 3), also (4x + 12)/(x + 3) = 4.
Der Term (x² − 16)/(x + 4) lässt sich zu x − c kürzen. Welche Zahl ist c?
Erklärung: x² − 16 = (x − 4)(x + 4), gekürzt bleibt x − 4, also c = 4.
Gegeben ist der Term (2x + 10)/(x² − 25). Klammere im Zähler aus, zerlege den Nenner mit einer binomischen Formel, kürze und gib die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst faktorisieren, dann den gemeinsamen Faktor (x + 5) streichen: 2/(x − 5). Die Definitionsmenge gehört zum ursprünglichen Term und schließt 5 und −5 aus.