Erweitern und Kürzen

Expanding and cancelling

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben
AlgebraBrücheVereinfachen

Erweitern und Kürzen ändern nur die Feinheit eines Bruchterms, nicht seinen Wert: Man multipliziert oder teilt Zähler und Nenner mit demselben Faktor, so wie bei 2/3 = 4/6. Gekürzt werden nur Faktoren, nie Summanden: (x + 3)/3 ist nicht x + 1. Steht im Zähler eine Summe, wird erst mit dem Distributivgesetz oder einer binomischen Formel faktorisiert. Der Abschnitt räumt das Kürzen aus Summen und das Erweitern nur eines Summanden aus. Er bereitet den gemeinsamen Nenner und das Vereinfachen von Ergebnissen vor.

Erweitern wie bei Zahlen

Erweitern macht die Teile feiner, der Anteil bleibt: 2/3 ist dasselbe wie 4/6. Bei Bruchtermen multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Term, den Nenner als Ganzes. Erweitert mit 3 wird zu . 6/(x + 3) wäre ein anderer Term. Erweitern ändert nur die Schreibweise, nie den Wert. Du brauchst es später, um Nenner gleich zu machen.

Bruchstreifen: 2/3 = 4/6; 4/6 gefärbt 23=46 46
Derselbe Anteil, feiner geteilt: 2/3 = 4/6.

Kürzen nur Faktoren

Kürzen ist die Umkehrung: Ein gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner wird gestrichen, zum Beispiel . Aus einer Summe darfst du nicht streichen. In ist die 3 ein Summand; es gilt (x + 3)/3 = x/3 + 1 und nicht x + 1. Teste Verdächtiges mit einer Zahl: Für x = 3 ist (x + 3)/3 = 2, aber x + 1 = 4. Eine Zahlenprobe kann eine Regel widerlegen, aber nicht beweisen.

Verändere x und vergleiche die beiden Werte. Bei welchem x stimmen sie überein?

Erst faktorisieren

Steht im Zähler eine Summe, machst du sie mit dem Distributivgesetz zum Produkt: 3x + 6 = 3(x + 2), also . Bei hilft die dritte binomische Formel: . Dann kürzt du den Faktor (x + 3) und erhältst x − 3. Die Zahl −3 bleibt ausgeschlossen. Prüfe das Ergebnis mit einer Zahl: Für x = 2 ist (3 · 2 + 6)/(2 + 2) = 3.

Voraussetzungen (1)

Bruchterme und Definitionsmenge
Klasse 8
›

Ermöglicht (2)

Addieren und Subtrahieren
Klasse 8
›
Multiplizieren und Dividieren
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Streifen zeigt den Anteil 2/3. Welcher Bruch beschreibt denselben Anteil?

  • ● 4/6
  • ○ 4/5
  • ○ 2/6
Erweitern mit 2 verdoppelt Zähler und Nenner: 4/6 zeigt genau denselben Anteil. 4/5 addiert 2 zu beiden Zahlen, 2/6 ändert nur den Nenner.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Erweitere 2/(x + 1) mit 3. Welcher Bruch entsteht?

  • ● 6/(3x + 3)
  • ○ 6/(x + 3)
  • ○ 2/(3x + 3)
Zähler und der ganze Nenner werden mit 3 multipliziert: 6/(3(x + 1)) = 6/(3x + 3). 6/(x + 3) multipliziert im Nenner nur die 1 mit 3, nicht das x. 2/(3x + 3) lässt den Zähler aus.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Kürze 6x/(9x²) so weit wie möglich.

  • ● 2/(3x)
  • ○ 2/(3x²)
  • ○ 2x/3
6x/(9x²) = (3x · 2)/(3x · 3x): Nach Streichen von 3x bleibt 2/(3x). 2/(3x²) kürzt das x nicht mit, 2x/3 kürzt es auf der falschen Seite.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

In welchem Bruch steht in Zähler und Nenner ein gemeinsamer Faktor?

  • ● 4x/(8y)
  • ○ (4 + x)/(8 + y)
  • ○ (x + 4)/(4y)
4x/(8y) besteht aus Produkten und hat den Faktor 4. In (4 + x)/(8 + y) und (x + 4)/(4y) steht im Zähler eine Summe: Dort ist keine 4 ein Faktor.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Umformung ist richtig?

  • ● (x + 3)/3 = x/3 + 1
  • ○ (x + 3)/3 = x + 1
  • ○ (x + 3)/3 = x
Jeder Summand wird durch 3 geteilt: x/3 + 3/3 = x/3 + 1. x + 1 streicht die 3 aus einer Summe, x streicht sogar die ganze Summe.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Terme (x + 3)/3 und x + 1 haben denselben Graphen.

✓ Falsch
Die Graphen sind zwei verschiedene Geraden, sie treffen sich nur bei x = 0 (beide Werte 1). Bei x = 3 ist der eine Term 2, der andere 4.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Kürze (3x + 6)/(x + 2).

  • ● 3
  • ○ 6
  • ○ 3x + 3
3x + 6 = 3(x + 2): Der Faktor (x + 2) kürzt sich, es bleibt 3. 6 kürzt jeden Summanden einzeln (3x/x = 3 und 6/2 = 3) und addiert. 3x + 3 teilt nur die 6 durch 2 und lässt den Nenner fallen.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Der Rechenbaum zeigt (x − 3)(x + 3)/(x + 3). Welcher Term bleibt nach dem Kürzen?

  • ● x − 3
  • ○ x + 3
  • ○ 1
Der Faktor (x + 3) steht im Zähler und im Nenner und wird gestrichen. Es bleibt der Faktor (x − 3). Nur die 3 zu streichen wäre falsch, denn sie steht in Summen.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

(x² − 9)/(x + 3) = x − 3 gilt für alle x außer x = −3.

✓ Wahr
x² − 9 = (x − 3)(x + 3), gekürzt bleibt x − 3. Der Ausgangsterm ist bei x = −3 nicht definiert; diese Zahl bleibt auch nach dem Kürzen ausgeschlossen.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Erweitere 5/(x − 2) mit 4. Der neue Nenner ist 4x − c. Welche Zahl ist c?

✓ Antwort: 8
4 · (x − 2) = 4x − 8, also c = 8. Der Zähler wird dabei zu 20.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Kürze 12x/(4x). Das Ergebnis ist eine Zahl. Welche?

✓ Antwort: 3
12x/(4x) = (4x · 3)/(4x · 1) = 3 für x ≠ 0.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für x = 3 hat (x + 3)/3 den Wert a und x + 1 den Wert b. Berechne b − a.

✓ Antwort: 2
a = (3 + 3)/3 = 2 und b = 3 + 1 = 4, also b − a = 2. Die Terme sind nicht gleich.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Kürze (4x + 12)/(x + 3). Das Ergebnis ist eine Zahl. Welche?

✓ Antwort: 4
4x + 12 = 4(x + 3), also (4x + 12)/(x + 3) = 4.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Bruch 3/(x + 5) wird auf den Nenner 4x + 20 erweitert. Welche Zahl steht im Zähler?

✓ Antwort: 12
4x + 20 = 4 · (x + 5): Es wurde mit 4 erweitert, also wird der Zähler 3 · 4 = 12.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Kürze 15a²b/(5ab) und berechne den Wert für a = 4 und b = 7.

✓ Antwort: 12
15a²b/(5ab) = 3a, denn 5, a und b werden gekürzt. Für a = 4 ist 3a = 12. Ohne Kürzen: 1680/140 = 12.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für genau einen Wert von x stimmen (x + 3)/3 und x + 1 überein. Welcher Wert ist es?

✓ Antwort: 0
(x + 3)/3 = x + 1 | · 3 ergibt x + 3 = 3x + 3, also 2x = 0 und x = 0. Nur dort sind die Terme gleich; überall sonst darf man nicht „kürzen“.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Der Term (x² − 16)/(x + 4) lässt sich zu x − c kürzen. Welche Zahl ist c?

✓ Antwort: 4
x² − 16 = (x − 4)(x + 4), gekürzt bleibt x − 4, also c = 4.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Gegeben ist der Term (2x + 10)/(x² − 25). Klammere im Zähler aus, zerlege den Nenner mit einer binomischen Formel, kürze und gib die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 2x + 10 = 2(x + 5) und x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Kürzen mit (x + 5): (2x + 10)/(x² − 25) = 2/(x − 5). D = ℚ \ {−5, 5}, denn der ursprüngliche Nenner ist bei x = 5 und x = −5 null.
Erst faktorisieren, dann den gemeinsamen Faktor (x + 5) streichen: 2/(x − 5). Die Definitionsmenge gehört zum ursprünglichen Term und schließt 5 und −5 aus.